روابط جابجاپذیری

1.     یادگیری عمیق تر 

Commutator میان دو عملگر A و B بدین صورت تعریف می‌شود:

اگر [A, B]=0 باشد، یعنی AB=BA و در نتیجه می‌توان گفت که A با B commute می‌کند. به طور مشابه، anti-commutator این دو عملگر بدین شکل توصیف می‌شوند:

گفته می‌شود که گر  باشد، A با B anti-commutator است. مشخص است که بسیاری از ویژگی‌های مهم جفت‌ عملگرها را می‌توان از  commutator و anti-commutator به دست آورد. احتمالا پرکاربردترین رابطه، ارتباط میان commutator و ویژگی اینکه بتوان به طور همزمان عملگرهای هرمیتی A و B را قطری کرد، است به صورتی که  بنویسیم  و  که  مجموعه‌ای از ویژه‌بردارهای متعامد بهنجار برای A و B است.

(تئوری قطری سازی همزمان) برای توضیح بیشتر، فرض کنید که A و B عملگرهای هرمیتی هستند. بنابراین  اگر و تنها اگر پایه‌ای متعامد بهنجار وجود داشته باشد که هر دوی A و B نسبت به آن قطری باشند. در این شرایط می‌گوییم که A و B هم‌زمان قابل قطری‌سازی هستند.

این نتیجه جابجاگر (کموتاتور) دو عملگر را که اغلب محاسبه آن آسان است، به خاصیت قابلیت قطری شدن همزمان مرتبط می‌کند، که از پیش تعیین آن نسبتاً دشوار است. به عنوان مثال، در نظر بگیرید که

بنابراین X و Y جابجا نمی‌شوند.

اثبات
می‌توانید به راحتی تأیید کنید که اگر A و B در یک پایه متعامد یکسان قطری باشند، آنگاه [A,B]=0[A,B]=0. . برای نشان دادن عکس این قضیه، اجازه دهید ∣a,j⟩ یک پایه متعامد برای فضای ویژه Va​ از A با مقدار ویژه a باشد؛ اندیس j برای برچسب زدن احتمالات تبهگنی استفاده می‌شود. توجه کنید که

AB∣a,j⟩=BA∣a,j⟩=aB∣a,j⟩,

و بنابراین B∣a,j⟩ عضوی از فضای ویژه Va​ است. اجازه دهید Pa​ نشان‌دهنده پروژکتور روی فضای Va​ باشد و Ba​≡ Pa B Pa Ba  را تعریف کنید. به راحتی می‌توان دید که محدودیت Ba​ به فضای Va​ در Va​ هرمیتی است، و بنابراین یک تجزیه طیفی بر حسب مجموعه‌ای متعامد از بردارهای ویژه دارد که فضای Va​ را پوشش می‌دهند. اجازه دهید این بردارهای ویژه را∣a,b,k⟩ بنامیم، جایی که اندیس‌های a و b مقادیر ویژه A و Ba​ را نشان می‌دهند، و k یک اندیس اضافی برای امکان وجود Ba​ انحطاطی است. توجه کنید که  B∣a,b,k⟩ عضوی از Va​ است، بنابراین  B∣a,b,k⟩=Pa​B∣a,b,k⟩. علاوه بر این، داریم  Pa​∣a,b,k⟩=∣a,b,k⟩، بنابراین

B∣a,b,k⟩= Pa B Pa ∣a,b,k⟩=b∣a,b,k⟩.

نتیجه می‌گیریم که ∣ a,b,k⟩ یک بردار ویژه از B با مقدار ویژه b است و بنابراین ∣a,b,k⟩ یک مجموعه متعامد از بردارهای ویژه هر دو A و B است که تمام فضای برداری که A و B روی آن تعریف شده‌اند را پوشش می‌دهد. یعنی A وB به طور همزمان قطری‌پذیر هستند. 

2.     نمایش ریاضیاتی

فرض کنید که معادله شرودینگر زیر را برای نوسان‌گر هماهنگ ساده داریم:

که در اینجا  عملگر تکانه است. ایده پایه ای این است که هایلتونی را فاکتور بگیریم

التبه که اگر این‌ها اعداد بودند، بسیار ساده می‌شد:

اما اینجا مسئله به این سادگی نیست، زیرا  و x عملگر هستند و عملگرها عموماً جابجاپذیر نیستند (xبا  ​x یکسان نیست، همانطور که به زودی خواهیم دید. با این حال، این ما را برمی‌انگیزد که کمیتهای زیر را بررسی کنیم:

البته این سوال پیش می‌آِد که  و  واقعا چه هستند؟

همانطور که پیش‌بینی شد، یک عبارت اضافی وجود دارد که شامل (x) می‌شود. ما این عبارت را جابجاگرx و  می‌نامیم؛ این عبارت معیاری است برای نشان دادن اینکه چقدر این دو عملگر در جابجایی با هم ناموفق هستند. به طور کلی، جابجاگر عملگرهای و  (که با کروشه نوشته می‌شود) به صورت زیر تعریف می‌شود:

در این نمادگذاری،

باید جابجاگر xو ​ را محاسبه کنیم. هشدار: کار با عملگرها به صورت انتزاعی بسیار لغزنده است، و شما حتماً مرتکب اشتباه خواهید شد مگر اینکه یک "تابع آزمون"، f(x)، برای عمل کردن به آن‌ها بدهید. در پایان می‌توانید تابع آزمون را کنار بگذارید، و معادله‌ای شامل فقط عملگرها باقی خواهد ماند. در این مورد داریم:

با کنار گذاشتن تابع آزمون که هدف خود را انجام داده است،

این رابطه زیبا و همه‌جا‌گیر، به عنوان رابطه جابجایی کانونی شناخته می‌شود.

 در عمیق‌ترین معنا، تمام رازهای مکانیک کوانتومی را می‌توان به این واقعیت نسبت داد که مکان و تکانه جابجا نمی‌شوند. در واقع، برخی از نویسندگان رابطه جابجایی کانونی را به عنوان یک اصل از نظریه می‌پذیرند و از آن برای استنتاج  =−iℏd/dx  استفاده می‌کنند.