1. یادگیری بیشتر:
نامساوی بل یک نتیجه از مکانیک کوانتومی نمیباشد پس اولین چیزی که باید انجام دهیم، فراموش کردن تمام دانشمان از مکانیک کوانتومی در این لحظه است. برای رسیدن به نامساوی بل، یک آزمایش ذهنی انجام میدهیم که در آن از عقل سلیم و درک خود از نحوه کارکرد جهان استفاده میکنیم؛ یعنی همان کارکردی که انیشتین و همکارانش فرض میکردند که طبیعت میبایست از آن پیروی کند. پس از اینکه تحلیل با عقل سلیم را انجام دهیم، یا تحلیل مکانیک کوانتومی که نشان میدهد با تحلیل عقل سلیم در یک راستا نمیباشد انجام میدهیم. طبیعت میتواند در پاسخ به یک آزمایش واقعی میان درک عقل سلیم ما از نحوه کارکرد جهان یا نحوه کارکرد مکانیک کوانتومی، تصمیم بگیرد.
2. نمایش ریاضیاتی:
فرض کنید که این آزمایش را انجام میدهیم؛ چارلی دو ذره را آماده میکند. اینکه او چگونه این ذره ها را آماده میکند، مهم نیستف فقط این مهم است که او توانایی تکرار روند آزمایشی که انجام میدهد را داشته باشد. وفتی او آمدهسازی را انجام دهد، یک ذره را بریا آلیس و دومی را برای باب میفرستد.
هنگامی که آلیس ذرهی خود را دریافت میکند، او یک اندازهگیری روی آن انجام میدهد. تصور کنید که او دو دستگاه اندازهگیری مختلف در اختیار دارد، بنابراین میتواند یکی از دو اندازهگیری مختلف را انتخاب کند. این اندازهگیریها مربوط به ویژگیهای فیزیکیای هستند که آنها را بهترتیب با و نشان میدهیم. آلیس از پیش نمیداند که کدام اندازهگیری را تصمیم میگیرد که انجام دهد. بلکه، هنگامی که ذره را دریافت میکند، با پرتاب یک سکه یا استفاده از روش تصادفی دیگری تصمیم میگیرد که کدام اندازهگیری را انجام دهد. برای سادگی، فرض میکنیم که هر اندازهگیری فقط میتواند یکی از دو نتیجهی ممکن را داشته باشد: +1 یا −1.
فرض کنید ذرهی آلیس مقدار Q را برای ویژگی دارد. Q بهعنوان یک ویژگی عینی از ذره آلیس در نظر گرفته میشود، که صرفاً توسط اندازهگیری آشکار میشود، همانگونه که ما موقعیت یک توپ تنیس را تصور میکنیم که با پراکندگی ذرات نور از آن مشخص میشود. به همین ترتیب، مقدار آشکارشده توسط اندازهگیری ویژگی را با R نشان میدهیم.
بهطور مشابه، فرض کنید که باب قادر است یکی از دو ویژگی، یا را اندازهگیری کند که بار دیگر مقدار عینی Sیا T را برای آن ویژگی آشکار میکند. هر یک از این مقادیر میتوانند +1 یا −1 باشند. باب از پیش تصمیم نمیگیرد که کدام ویژگی را اندازهگیری کند، بلکه تا زمانی که ذره را دریافت کند منتظر میماند و سپس بهطور تصادفی انتخاب میکند.
زمانبندی این آزمایش به گونهای تنظیم شده است که آلیس و باب اندازهگیریهای خود را بهطور همزمان انجام دهند. بنابراین، اندازهگیریای که آلیس انجام میدهد نمیتواند بر نتیجهی اندازهگیری باب تأثیر بگذارد (و برعکس)، زیرا تأثیرات فیزیکی نمیتوانند سریعتر از نور انتشار یابند.
شکل 1: چیدمان شماتیک آزمایش برای نامساویهای بل. آلیس میتواند انتخاب کند یکی از دو کمیت Q یا R را اندازهگیری کند و باب نیز میتواند انتخاب کند که یکی از دو کمیت SSS یا TTT را اندازهگیری کند. آنها اندازهگیریهای خود را بهطور همزمان انجام میدهند. فرض بر این است که آلیس و باب بهاندازه کافی از هم دور هستند که انجام یک اندازهگیری بر روی یک سیستم، هیچ تأثیری بر نتیجهی اندازهگیری سیستم دیگر نداشته باشد.
حالا کمی جبر خطی با مقدار انجام میدهیم.
توجه نمایید:
.
چرا که پس همچنین یا میباشند. در هر صورت، میتوان از معادله بالا به راحتی نشان داد که . حالا فرض کنید که احتمال این است که پیش از اندازهگیری، سیستم در حالتی که باشد، قرار داشته باشد. این احتمالات بستگی به این دارند که چارلی چطور آمادهسازی خود را انجام دهد و همچنین به نویز آزمایش وابسته است.اگر E(.) مقدار میانگین یک کمیت باشد، داریم
همچنین،
.
در نهایت، با مقایسه دو معادله آخر به نامساوی بل خواهیم رسید،
این نتیجه همچنین به نامساوی CHSH نیز معروف میشود که شامل حروف اول کاشفان آن است. این یک بخش از مجموعهای بزرگتر از نامساویهایی است که از آنجایی که اولین بار توسط جان بل John Bell یافته شدند، به عنوان نامساویهای بل معروف است.
با تکرار آزمایش به دفعات زیاد، آلیس و باب میتوانند هر یک از کمیتهای سمت چپ نامساوی بل را تعیین کنند. برای مثال، پس از اتمام یک مجموعه آزمایش، آلیس و باب گرد هم میآیند تا دادههای خود را تحلیل کنند. آنها تمام آزمایشهایی را که در آن آلیس و باب را اندازهگیری کردهاند، بررسی میکنند. با ضرب کردن نتایج این آزمایشها در یکدیگر، آنها مجموعهای از مقادیر برای QS به دست میآورند. با میانگینگیری از این مجموعه، میتوانند مقدار E(QS) را با دقتی که تنها به تعداد آزمایشهای انجامشده محدود میشود، برآورد کنند.
بهطور مشابه، آنها میتوانند تمامی کمیتهای دیگر سمت چپ نامساوی بل را تخمین زده و بررسی کنند که آیا این نامساوی در یک آزمایش واقعی برقرار است یا خیر.
حالا وقت آن است که از مکانیک کوانتومی بهره ببریم. چنین آزمایش مکانیک کوانتومی را تصور کنید؛ چارلی یک سیستم کوانتومی متشکل از دو کیوبیت در این حالت را آماده میکند:
سپس کیوبیت نخست را به آلیس و کیوبیت دوم را به باب میدهد. آنها با مشاهدهپذیرهای زیر، اندازهگیری را انجام میدهند:
.
با انجام محاسبات ساده میتوان نشان داد که مقادیر میانگین برای این مشاهدهپذیرها که در مکانیک کوانتومی به شکل نمادگذاری میشوند، بدین صورت هستند:
.
بنابراین داریم
.
اما در نظر داشته باشید که کمی پیشتر و در 5 معادله قبل، دیدیم که میانگین همه این مشادهپذیرها هرگز نمیتواند از 2 بیشتر شود؛ اما مکانیک کوانتومی در اینجا 2 را پیشبینی میکند.
خوشبختانه طبیعت میتواند این تناقض را برای ما حل کند. آزمایشهای هوشمندانه با استفاده از فوتونها در راستای تاییدسنجی این پیشبینی مکانیک کوانتومی در مقابل نامساوی بل که با منطق عقل سلیم خود به آن رسیدیم، انجام شدهاند. نتایج این آزمایشها به نفع پیشبینی مکانیک کوانتومی بودند؛ طبیعت از نامساوی بل تبعیت نمیکند.
این به چه معناست؟ یعنی یک یا چند فرض که در به دست آوردن نامساوی بل استفاده شدهاند، میبایست نادرست بوده باشند. در اینجا تعدادی از نکات اصلی در این باره را خلاصه میکنیم.
دو فرض در اثبات نامساوی بل در نظر گرفته شدهاند که سوالبرانگیزند:
1. فرض اول این است که کمیتهای فیزیکی ، ، و مقادیر مشخص Q، R، S و T دارند که مستقل از مشاهده وجود دارند.
2. فرض دوم این است که انجام اندازهگیری توسط آلیس، نتیجه حاصل از اندازهگیری توسط باب را تحت تثیر قرار نمیدهد. این فرض گاهی به عنوان فرض موضعیت Locality نیز شناخته میشود.
این دو فرض در کنار هم به عنوان فرضهای «واقعگرایی موضعی» شناخته میشوند. آنها قطعاً فرضهایی هستند درباره اینکه دنیا چطور کار میکند از لحاظ شهودی قابل قبول به نظر میرسند و با تجربیات روزمره ما همخوانی دارند. با این حال، نامساویهای بِل نشان میدهند که حداقل یکی از این فرضها درست نیست.
چه درسی میتوانیم از نامساوی بِل بگیریم؟ برای فیزیکدانها مهمترین درس این است که شهود عمیقاً جاافتاده و عقل سلیم آنها دربارهی چگونگی کارکرد جهان اشتباه است. اکثر فیزیکدانها این دیدگاه را دارند که این فرض واقعگرایی است که باید از جهانبینی ما در مکانیک کوانتومی حذف شود؛ هرچند عدهای دیگر استدلال کردهاند که بهتر است فرض موضعیت را کنار بگذاریم. در هر صورت، نامساوی بِل به همراه شواهد تجربی قابل توجه اکنون ما را به این نتیجهگیری سوق میدهد که اگر بخواهیم به درک شهودی درستی از مکانیک کوانتومی دست یابیم، باید یکی یا هردو فرض موضعیت و فرض واقعگرایی را کنار بگذاریم.
زمینههای محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی چه درسهایی میتوانند از نامساوی بِل بگیرند؟ از دید تاریخی شاید مفیدترین درس، مبهمترین آنها نیز بوده است: چیزی عمیقاً عجیب در حالتهای درهمتنیده مانند حالت EPR وجود دارد. بسیاری از پیشرفتها در محاسبات کوانتومی و بهخصوص در حوزهی اطلاعات کوانتومی، از مطرح کردن این سؤال ساده حاصل شده است: «در این مسئله، درهمتنیدگی چه کمکی به من میکند؟» وقتی مقداری درهمتنیدگی را وارد یک مسئله میکنیم، دنیایی جدید از امکاناتی را میگشاییم که با اطلاعات کلاسیک غیرقابل تصور بودند. تصویر بزرگتر این است که نامساوی بِل به ما نشان میدهد که درهمتنیدگی یک منبع اساساً جدید در جهان است که از منابع کلاسیک فراتر میرود. یکی از وظایف مهم محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی این است که از این منبع جدید استفاده کرده و وظایف پردازش اطلاعاتی را انجام دهد که با منابع کلاسیک یا ناممکناند یا بسیار دشوارترند.