۱. یادگیری عمیق تر
اگر در نتیجه اعمال یک عملگر بر روی یک تابع، تابعی یکسان با تابع اولیه داشته باشیم، آن تابع یک ویژهتابع یا eigenfunction نام دارد ثابتی که موجب برابری ویژهتابع با تابع اولیه باشد، ثابت تساوی با نام ویژهمقدار است. به عبارتی دیگر، اگر 
عملگری باشد که بتواند روی f بدین صورت عمل کند که
f یک ویژهتابع برای خواهد بود و ویژهمقدار a متناظر با این ویژهتابع میباشد. چنین معادلهای، معادله ویژهمقدار یا Eigenvalue equation نام دارد. معادله مستقل از زمان شرودینگر در مکانیک کوانتومی، یک مثال بارز از معادله ویژهمقدار میباشد. معادلات ویژهمقدار دیگری نظیر تکانه زاویهای از اهمیت قابل توجهی در مکانیک کوانتومی برخوردارند.
۲. نمایش ریاضیاتی
خیلی از مهمترین مسائل در فیزیک را مبتوان به فرم عمومی زیر درآورد
که در این معادله A یک عملگر خطی است در فضای هیلبرت است و 
یک تابع در فضا است و 
یک ثابت میباشد. عملگر A شناختهشده است اما هردوی و ناشناخته هستند و مسئله ما حل معادله بالا استو چرا که پاسخهای به این معادله به توابع که در طی تحول بیتغییر ماندهاند میانجامند (مگر ضرب شدن دریک فاکتور نردهای ) که به این معادلات، معادلات ویژهمقدار میگویند. Eigen در آلمانی به معنای (از آن خود) است. یک تابع که یک معادله ویژهمقدار را حی میکند، ویژهتابع یا Eigenfunction نام دارد و مقدار که با یک ویژهتابع عنراه است، ویژهمقدار نام دارد.
نیازمندی برای اینکه عملگر A، 
را تنها با تغییر ضریب نردهای رها کند، محدودیت مشخصی بر روی است.
برای دانستن اهمیت این معادلات در فیزیک، چند مثال را مرور میکنیم:
1. موجهای ایستای تشدیدی از یک تار مرتعش، آنهایی هستند که نیروی بازگرداننده وارد بر المانهای تار (که با Aψ نشان داده میشود) متناسب با تغییرمکانهای ψ از حالت تعادل باشد.
2. تکانهٔ زاویهای L و سرعت زاویهای ω یک جسم صُلب، بردارهای سهبُعدی (3-D) هستند که با یک معادله به هم مرتبط میشوند:
که در آن I ماتریس ۳×۳ ممان اینرسی است. در اینجا، جهت ω محور چرخش را تعریف میکند، در حالی که جهت L محور تولید تکانهٔ زاویهای را مشخص میسازد. شرطی که این دو محور در یک راستا قرار گیرند (و در نتیجه محورهای اصلی اینرسی تعریف شوند) این است که L=λω باشد، جایی که λ یک ثابت تناسب است. با ترکیب این شرط با فرمول مربوط به L، نتیجه میگیریم:
که این معادله، یک معادلهٔ مقدار ویژه است که در آن عملگر، ماتریس I بوده و ویژهتابع (که معمولاً ویژهبردار نامیده میشود) بردار ω است.
3. معادلهٔ شرودینگر مستقل از زمان در مکانیک کوانتومی، یک معادلهٔ ویژهمقدار است که در آن A عملگر همیلتونی Hاست، ψ یک تابع موج محسوب میشود و λ=E بیانگر انرژی حالتی است که توسط ψ نمایش داده میشود.
یک رویکرد قدرتمند در حل مسائل ویژهمقدار این است که آنها را بر حسب یک پایهٔ متعامد و بهنجار بیان کنیم که اعضای آن را 
مینامیم. در این صورت، عملگر A و تابع ψ توسط ماتریس A و بردار c نمایش داده میشوند که مؤلفههای آنها بهصورت ضربهای داخلی محاسبه میشوند.
معادله ویژهمقدار اصلی، اکنون به یک معادلهٔ ماتریسی کاهش یافته است:
وقتی یک معادلهٔ ویژهمقدار به این شکل ارائه میشود، میتوان آن را یک معادلهٔ مقدار ویژهمقدار ماتریسی نامید و بردارهای c که آن را حل میکنند را «ویژهبردار» نامید. زمانی که یک مسئله ویژهمقدار ماتریسی حل شود، میتوان ویژهتوابع مسئلهٔ اصلی را از بسط آنها بازیابی کرد:
گاهی اوقات، همانطور که در مثال ممان اینرسی پیشتر اشاره شد، مسئله ویژهمقدار ما در اصل یک مسئلهٔ ماتریسی است. در این صورت، طبعاً نیازی نداریم فرایند حل آن را با معرفی یک پایه و تبدیل مسئله به شکل ماتریسی آغاز کنیم، و راهحلهای ما بردارهایی خواهند بود که لازم نیست بهعنوان بسطهایی در یک پایه تعبیر شوند.
همارزی صورتهای عملگری و ماتریسی
نکتهٔ مهم این است که ما با معادلات ویژهمقداری سروکار داریم که در آن، عملگر موجود، خطی است و روی عناصر فضای هیلبرت عمل میکند. زمانی که این شرایط برقرار شود، میتوان عملگر و تابع مسئله را در پایهای بسط داد که ما را به معادلهٔ ویژهمقدار ماتریسی میرساند که کاملاً با مسئلهٔ اصلی ما همارز است. از جمله پیامدهای این همارزی آن است که هر قضیهای دربارهٔ ویژگیهای ویژهبردارها یا ویژهمقادیر که از بسط مسئلهٔ ویژهمقدار بر اساس یک مجموعه پایه حاصل میشود، باید در مورد مسئلهٔ اصلی نیز صدق کند، و همچنین حل معادلهٔ مقدار ویژهٔ ماتریسی همچنین یافتن راهحلی برای مسئلهٔ اصلی است.
یک مثال مقدماتی
در اینجا، مسئلهای ساده در حرکت دوبُعدی (۲-D) را در نظر میگیریم که در آن یک ذره بدون اصطکاک درون یک حوضهٔ بیضوی، مطابق شکل میلغزد:
شکل1: بالا: خطوط تراز پتانسیل حوضه 
. پایین: مسیر حرکت ذرهٔ لغزان با جرم واحد که از حالت سکون در (8.0, −1.92) شروع میشود.
اگر ذره را (که در ابتدا ساکن است) در نقطهای دلخواه در این حوضه رها کنیم، شروع به حرکت رو به پایین در راستای گرادیان (منفی) میکند، که در حالت کلی لزوماً مستقیم بهسوی مینیمم پتانسیل در کف حوضه جهسمت مینیمم پتانتگیری ندارد. پس مسیر کلی حرکت ذره، مسیری پیچیده خواهد بود، همانطور که در تصویر پایین شکل 1 ترسیم شده است. هدف ما این است که مکانهایی را (در صورت وجود) بیابیم که از آنجا مسیر حرکت مستقیماً به مینیمم پتانسیل نشانه رود و در نتیجه نشانگر حرکت هماهنگ ساده تکبعدی داشته باشد.
این مسئله بهقدری ابتدایی است که میتوانیم بدون دشواری زیاد آن را تحلیل کنیم. ما پتانسیلی از شکل زیر در نظر میگیریم:
که در آن متغیرهای a، b و c در بازههایی هستند که یک حوضه بیضوی با کمینه پتانسیل V در x=0 و y=0 را توصیف کنند. در قدم بعدی، مؤلفههای x و y نیروی وارد بر ذره هنگامیکه در نقطهٔ (x,y) قرار دارد را محاسبه میکنیم:
کاملاً مشخص است که برای بیشتر مقادیر x و y، 
، بنابراین نیرو در x=y=0 بهسمت کمینه جهتگیری نخواهد کرد.
برای یافتن جهتهایی که نیرو بهسمت x=y=0 باشد، ابتدا معادلات نیرو را بهشکل ماتریسی مینویسیم:
که در آن f، H و rتعریف خواهند شد. اکنون شرط 
همارز این است که بردار f و بردار r با یکدیگر متناسب باشند و در نتیجه میتوانیم بنویسیم:
که در آن، همانطور که پیشتر اشاره شد، Hماتریسی شناختهشده است و λ و r باید تعیین شوند. این معادله، یک معادلهٔ ویژهمقدار است و بردارهای ستونی r که جوابهای آن هستند «ویژهبردار» نامیده میشوند، در حالی که مقادیر λ متناظر با آنها، «ویژهمقدار» خواهند بود.
معادلهٔ 
یک دستگاه معادلات خطی همگن است و اگر آن را بهشکل زیر بنویسیم، این موضوع آشکارتر میشود:
این دستگاه تنها یک جواب یکتا r=0 خواهد داشت، مگر اینکه det (H−λ1)=0 باشد. اما مقدار λ در اختیار ماست و میتوانیم به جستجوی مقادیری از λ بپردازیم که این دترمینان را صفر میکند. بهصورت پارامتری پیش میرویم و دنبال λ هایی میگردیم که:
با بسط این دترمینان یک معادلهٔ جبری موسوم به دست میآید، یعنی:
که میتوان آن را برای λ حل کرد.
وقتی مقداری ازλ که معادلهٔ آخررا ارضا میکند به دست آید، میتوانیم به دستگاه معادلات همگن دترمینان 
برگردیم و آن را برای بردار r حل کنیم. این کار را میتوان برای همهٔ مقادیر λ که جواب معادله هستند تکرار کرد و به این ترتیب، مجموعهای از ویژهمقادیر و ویژهبردارهای مربوط به آنها به دست میآید.
۳. اصول کلیدی
خطی بودن: اگر f(x) و g(x) توابع ویژهٔ عملگر L با یک ویژهمقدار مشترک باشند، آنگاه ترکیب خطی آنها af(x)+bg(x) نیز یک تابع ویژه با همان ویژهمقدار خواهد بود، که در آن a و b اسکالر هستند.
متعامد بودن: تحت شرایط خاصی، توابع ویژهای که متناظر با ویژهمقادیر متمایز هستند، با توجه به ضرب داخلی تعریفشده بر فضای توابع، نسبت به هم متعامد هستند.
کامل بودن: در بسیاری از مسائل، مجموعهٔ توابع ویژه پایهای کامل برای فضای توابع موردنظر تشکیل میدهد. به این معنا که هر تابع در آن فضا را میتوان بهصورت جمع یا انتگرالی از توابع ویژه بیان کرد.
بهنجارش : اغلب میتوان توابع ویژه را چنان بهنجار کرد که نرم norm واحد داشته باشند. این ویژگی در مکانیک کوانتومی بسیار سودمند است، چراکه توابع ویژه در مکانیک کوانتومی دامنههای احتمال را نمایش میدهند.
در مسیر حل معادله ویژهمقدار، اگر معادلهٔ دترمینان 
دارای ریشهٔ چندگانه باشد، گفته میشود که دستگاه معادله ویژهمقدار «تبهگن» است یا دچار تبهگنی میباشد.
۴. کاربرد
ویژهتوابع در حوزههای گوناگونی کاربرد گسترده دارند:
- مکانیک کوانتومی: ویژهتوابع عملگر همیلتونی، حالتهای ایستا (stationary) سامانههای کوانتومی را توصیف میکنند و ویژهمقادیر آنها بیانگر کمیتهای مشاهدهپذیر نظیر انرژی است.
· آنالیز ارتعاش و آکوستیک: ویژهتوابع، مودهای نرمال در سامانههای ارتعاشی نظیر تارها، غشاها و جامدات را توصیف میکنند.
· پردازش سیگنال: در سامانههای خطی از ویژهتوابع برای درک و طراحی فیلترها و حل معادلات دیفرانسیلی مدلکنندهٔ سامانههای فیزیکی استفاده میشود.
· معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی: در این حوزه، توابع ویژه با روش جداسازی متغیرها بهکار میروند تا مسائل فیزیک ریاضی و مهندسی حل شوند.
۵. تاریخچه
مفهوم تابع ویژه از مطالعات اولیه دربارهٔ ارتعاش تارها و تحلیل سریهای سینوسی و کسینوسی سرچشمه گرفته است. در سدهٔ هجدهم، لئونارد اویلر (LeonhardEuler) و دنیل برنولی(DanielBernoulli) در تبیین رفتار سیستمهای ارتعاشی، ایدهٔ استفاده از توابعی را مطرح کردند که امروزه آنها را «توابع ویژه» مینامیم. در اوایل سدهٔ نوزدهم، ژوزف فوریه (JosephFourier) با معرفی بسط فوریه، گام مهمی در صورتبندی این مفهوم برداشت. سپس شارل-فرانسوا اشتورم (Charles-François-Sturm) و ژوزف لیوویل (JosephLiouville) در دهههای ۱۸۳۰ و ۱۸۴۰، با تبیین نظریهٔ اشتورم–لیوویل Sturm–Liouville theory ، زیربنای ریاضی مفاهیم تابع و مقدار ویژه را بنا نهادند. این چارچوب در ادامه، توسط ریاضیدانانی چون لرد ریلی (LordRayleigh) و ادموند تیتچمارش (EdmundTitchmarsh) بسط بیشتری یافت و در قرن بیستم، به ابزاری اساسی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و توصیف حالتهای ارتعاشی در فیزیک و مهندسی تبدیل شد
Mortimer, R. G., & Blinder, S. M. (2023). Mathematics for physical chemistry. Elsevier.
Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2011). Mathematical methods for physicists: a comprehensive guide. Academic press.