ماتریس چگالی

مکانیک کوانتومی را می‌توان با استفاده از بردارهای حالت فرمول‌بندی کرد، اما یک بیان جایگزین نیز وجود دارد که از ابزاری به نام عملگر چگالی یا ماتریس چگالی استفاده می‌کند. این بیان جایگزین از نظر ریاضیاتی معادل روش بردار حالت است، اما زبان بسیار راحت‌تری برای فکر کردن به برخی موقعیت‌های رایج در مکانیک کوانتومی فراهم می‌کند. یکی از کاربردهای مهم اپراتور چگالی، توصیف زیرسیستم‌های جداگانه از یک سیستم کوانتومی مرکب است که در آن به خوبی عمل می‌کند.

مبانی ریاضی مکانیک کوانتومی

عنوان‌های این مطلب

۱. یادگیری عمیق‌تر

استفاده از عملگر چگالی یک ابزار مناسب برای توصیف سیستم‌های کوانتومی که حالت آن‌ها به طور کامل شناخته نیست را فراهم می‌کند. به طور دقیق‌تر، فرض کنید که یک سیستم کوانتومی در یکی از حالات

|\psi_i\rangle

با احتمال متناظر

p_i

است؛ بنابراین بهتر است که

\{p_i, |\psi_i\rangle\}

را یک آنسامبل از حالات خالص (ensemble of pure states) دانست. لذا عملگر چگالی برای این سیستم بدین صورت تعریف می‌شود:

\rho \equiv \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|

عملگر چگالی معمولا به عنوان ماتریس چگالی نیز شناخته می‌شود. البته جالب است بدانید که تمام اصول مکانکی کوانتومی را می‌توان با استفاده از زبان عملگر چگالی نیز فرمول‌بندی کرد. بنابراین اگر از زبان بردار حالت و یا عملگر چگالی استفاده شود، تفاوتی ایجاد نمی‌شود چرا که هر دو نتایج یکسان می‌دهند و تنها ممکن است به نظر بیاید که گاهی مسائل با استفاده از یکی از این دو رویکرد گویی آسان‌تر می‌باشند.

فرض کنید که تحول یک سیستم کوانتومی بسته با استفاده از یک عملگر یکانی U قابل توصیف است. اگر سیستم در ابتدا در حالت

|\psi_i\rangle

و با احتمال

p_i

باشد، بنابراین پس ار رخداد تحول، سیستم در حالت

U|\psi_i\rangle

و با احتمال

p_i

خواهد بود. در نتیجه، تحول عملگر چگالی با این معادله توصیف می‌شود:

\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i| \xrightarrow{U} \sum_i p_i U|\psi_i\rangle\langle\psi_i|U^\dagger = U\rho U^\dagger

اندازه‌گیری‌ها را می‌توان به آسانی با زبان عملگر چگالی توصیف کرد. فرض کنید که یک اندازه‌گیری را انجام می‌دهیم که توسط عملگرهای اندازه‌گیری

M_m

توصیف می‌شود. اگر حالت اولیه

|\psi_i\rangle

باشد، بنابراین احتمال دریافت نتبجه

m

بدین ترتیب است:

p(m|i) = \langle \psi_i | M_m^\dagger M_m | \psi_i \rangle = \operatorname{tr}\left( M_m^\dagger M_m |\psi_i\rangle\langle\psi_i| \right)

با توجه به قانون کل احتمالات، احتمال به دست آوردن نتیجه‌ی

m

بدین صورت است:

p(m) = \sum_i p(m|i)p_i

= \sum_i p_i \operatorname{tr}\left( M_m^\dagger M_m |\psi_i\rangle\langle\psi_i| \right)

= \operatorname{tr}\left( M_m^\dagger M_m \rho \right)

ممکن است برایتان سوال شود که عملگر چگالی سیسستم پس از به دست آوردن نتیجه‌ی

m

چه خواهد بود؟ اگر حالت اولیه سیستم

|\psi_i\rangle

باشد، بنابراین حالت سسیستم پس از به دست آوردن نتیجه‌ی

m

خواهد بود:

|\psi_i^m\rangle = \frac{ M_m|\psi_i\rangle }{ \sqrt{ \langle\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rangle } }

بنابراین پس از یک اندازه‌گیری که نتیجه‌ی

m

را می‌دهد، یک آنسامبل از حالات

|\psi_i^m\rangle

با احتمالات متناظر با

p(i|m)

را خواهیم داشت. عملگر چگالی متناظر

\rho_m

نیز بدین صورت خواهد بود:

\rho_m = \sum_i p(i|m)|\psi_i^m\rangle\langle\psi_i^m| = \sum_i p(i|m) \frac{ M_m|\psi_i\rangle\langle\psi_i|M_m^\dagger }{ \langle\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rangle }

اما با توجه به تئوری بنیادی احتمال،

p(i|m) = \frac{p(m,i)}{p(m)} = \frac{p(m|i)p_i}{p(m)}

می‌باشد. با توجه به معادلات به دست آمده، می‌توان نوشت:

\rho_m = \sum_i p_i \frac{ M_m|\psi_i\rangle\langle\psi_i|M_m^\dagger }{ \operatorname{tr}(M_m^\dagger M_m\rho) }

= \frac{ M_m\rho M_m^\dagger }{ \operatorname{tr}(M_m^\dagger M_m\rho) }

موضوعی که در اینجا نشان داده‌ایم این است که اصول پایه‌ای مکانیک کوانتومیِ مرتبط با تحولات یکانی و اندازه‌گیری را می‌توان با عملگرهای چگالی نیز فرمول‌بندی کرد.

در نهایت فرض کنید که یک سیستم کوانتومی در حالت

\rho_i

و با احتمال

p_i

آماده شده باشد؛ بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که این سیستم را ‌می‌توان با ماتریس چگالی

\sum_i p_i \rho_i

توصیف کرد. اثبات آن نیز این می‌تواند باشد که فرض کنید

\rho_i

از آنسامبل مفروضی از حالات خالص

\{p_{ij},|\psi_{ij}\rangle\}

گرفته شده باشد که در نتیجه احتمال برای این که در حالت

|\psi_{ij}\rangle

باشد

p_i p_{ij}

است. ماتریس چگالی برای این سیستم نیز بدین صورت است:

\rho = \sum_{ij} p_i p_{ij} |\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|

= \sum_i p_i \rho_i

که در اینجا از تعریف

\rho_i = \sum_j p_{ij} |\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|

استفاده شده است. می‌توان گفت که

\rho

یک مخلوطی از حالات

\rho_i

با احتمالات

p_i

است. این مفهوم مخلوط بودن در آنالیز مسائلی نظیر نویز کوانتومی که اثر نویز ناآگاهی ما از حالت کوانتومی است، بسیار تکرار می‌شود. یک مثال ساده را با در نظر گرفتن سناریوی اندازه‌گیری با این ویژگی‌های تصور کنید: فرض کنید ثبت نتیجه‌ی

m

از اندازه‌گیری گم شده است. یک سیستم کوانتومی در حالت

\rho_m

با احتمال

p(m)

خواهیم داشت اما دیگر مقدار واقعی

m

را نخواهیم دانست. حالت چنین سیستم کوانتومی در نتیجه با عملگر چگالی زیر توصیف خواهد شد:

\rho = \sum_m p(m)\rho_m

= \sum_m \operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m \rho\right) \frac{M_m \rho M_m^\dagger} {\operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m \rho\right)}

= \sum_m M_m \rho M_m^\dagger

۲. اصول کلیدی

عملگر چپالی به عنوان ابزاری برای توصیف آنسامبل‌هایی از حالات کوانتومی معرفی شده است. کلاسی از عملگرها که عملگرهای چگالی هستند را می‌توان بدین ترتیب معرفی کرد:

یک عملگر

\rho

، عملگر چگالی متناظر با آنسامبل مفروض

\{p_i,|\psi_i\rangle\}

می‌باشد، اگر و تنها اگر شرایط زیر را اغنا کند:

شرط Trace: $\rho$ یک Trace برابر با 1 دارد

شرط مثبت بودن: $\rho$ یک عملگر مثبت می‌باشد.

اصل 1: متناظر با هر سیستم فیزیکی بسته‌ای، یک فضای برداری مختلط با ضرب داخلی (یعنی همان فضای هیلبرت) به نام فضای حالت برای سیستم وجود دارد. این سیستم به صور کامل با عملگر چگالی خود توصیف می‌شضود که یک عملگر مثبت

\rho

با trace برابر با 1 می‌باشد که روی فضای حالت سیستم اثر می‌گذارد. اگر یک سیستم کوانتومی در حالت

\rho_i

باشد، عملگر چگالی برای این سیستم

\sum_i p_i \rho_i

خواهد بود.

اصل 2: تحول یک سیستم کوانتومی بسته با یک تبدیل یکانی توصیف می‌شود. یعنی حالت

\rho

سیستم در زمان

t_1

متناظر با حالت

\rho'

سیستم در زمان

t_2

تحت یک عملگر یکانی

U

که تنها وابسته به زمان‌های

t_1

t_2

است، انجام می‌شود:

\rho' = U\rho U^\dagger

اصل ۳: اندازه‌گیری‌های کوانتومی توسط دسته‌ای از عملگرهای اندازه‌گیری

\{M_m\}

توصیف می‌شوند. این عملگرها روی فضای حالت سیستم مورد اندازه‌گیری عمل می‌کنند. زیروند

m

مرتبط با خروجی اندازه‌گیری است که ممکن است در آزمایش رخ دهد. اگر حالت کوانتومی سیستم دقیقا پیش از اندازه‌گیری

\rho

باشد، احتمال اینکه تیجه

m

رخ دهد بدین صورت است:

p(m)=\operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m\rho\right)

و حالت سیستم پس از اندازه‌گیری بدین صورت است:

\frac{M_m\rho M_m^\dagger} {\operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m\rho\right)}

عملگرهای اندازه‌گیری شرط کامل بودن را رعایت می‌کنند:

\sum_m M_m^\dagger M_m = I

۳. منابع

مفاهیم مرتبط

روابط جابجاپذیری

فرض کنید دو عملگر خطی داریم، مانند عملگر مکان، تکانه یا هامیلتونی. جابجاگر یا Commutator نشان می‌دهد که ترتیب اعمال این دو عملگر تا چه اندازه بر نتیجه اثر می‌گذارد. اگر جابجاگر صفر باشد، تغییر ترتیب اعمال آن‌ها نتیجه را عوض نمی‌کند و می‌گوییم دو عملگر با یکدیگر جابجا می‌شوند (commute)؛ در غیر این صورت، ترتیب اعمال آن‌ها اهمیت دارد.

ادامه مطلب

محاسبات کوانتومی

به فرآیند انجام محاسبات با استفاده از اصول مکانیک کوانتومی مانند برهم‌نهی و درهم‌تنیدگی، محاسبات کوانتومی گفته می‌شود که به کامپیوترهای کوانتومی این امکان را می‌دهد که برخی مسائل را بسیار سریع‌تر از کامپیوترهای کلاسیک حل کنند. در محاسبات کوانتومی به جای استفاده از بیت‌های کلاسیک که فقط می‌توانند 0 یا 1 باشند از کیوبیت‌ها استفاده می‌شود.

ادامه مطلب

گیت‌های کوانتومی

یک گیت کوانتومی، عملیاتی پایه در کامپیوتر کوانتومی است که حالت کیوبیت‌ها را تغییر می‌دهد. این گیت مانند یک دستور ساده عمل می‌کند که به کیوبیت‌ها می‌گوید چگونه با یکدیگر تعامل داشته باشند یا تغییر کنند و به کامپیوتر کمک می‌کند اطلاعات را پردازش کند. مشابه کامپیوترهای کلاسیک که از گیت‌های منطقی برای دستکاری بیت‌ها استفاده می‌کنند، گیت‌های کوانتومی نیز روی کیوبیت‌ها عمل کرده و از قوانین مکانیک کوانتومی پیروی می‌کنند.

ادامه مطلب

کیوبیت

کیوبیت‌ها بر پایه مفهومی مشابه با بیت‌های کلاسیک ساخته شده‌اند که به اختصار کیوبیت نیز نامیده می‌شوند. همانند بیت کلاسیکی، کیوبیت دو حالت 0 و 1 را دارا می‌باشد اما تفاوت بنیادی آن‌ها در این است که کیوبیت مثل یک سکه جادویی به گونه‌است که انگار در یک زمان هر دو سوی خود را نشان می‌دهد یا به عبارتی می‌تواند در یک زمان، در ترکیبی از حالات 0 و 1 باشد که این موضوع موجب می‌شود که کامپیوترهای کوانتومی امکان انجام بهینه محاسبات پیچیده‌تر را نسبت به همتای کلاسیکی خود در مسائل مشخصی داشته‌باشند.

ادامه مطلب

در حال بارگذاری ...

۱. یادگیری عمیق‌تر

|\psi_i\rangle

با احتمال متناظر

p_i

است؛ بنابراین بهتر است که

\{p_i, |\psi_i\rangle\}

را یک آنسامبل از حالات خالص (ensemble of pure states) دانست. لذا عملگر چگالی برای این سیستم بدین صورت تعریف می‌شود:

\rho \equiv \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|

|\psi_i\rangle

و با احتمال

p_i

باشد، بنابراین پس ار رخداد تحول، سیستم در حالت

U|\psi_i\rangle

و با احتمال

p_i

خواهد بود. در نتیجه، تحول عملگر چگالی با این معادله توصیف می‌شود:

\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i| \xrightarrow{U} \sum_i p_i U|\psi_i\rangle\langle\psi_i|U^\dagger = U\rho U^\dagger

M_m

توصیف می‌شود. اگر حالت اولیه

|\psi_i\rangle

باشد، بنابراین احتمال دریافت نتبجه

m

بدین ترتیب است:

p(m|i) = \langle \psi_i | M_m^\dagger M_m | \psi_i \rangle = \operatorname{tr}\left( M_m^\dagger M_m |\psi_i\rangle\langle\psi_i| \right)

با توجه به قانون کل احتمالات، احتمال به دست آوردن نتیجه‌ی

m

بدین صورت است:

p(m) = \sum_i p(m|i)p_i

= \sum_i p_i \operatorname{tr}\left( M_m^\dagger M_m |\psi_i\rangle\langle\psi_i| \right)

= \operatorname{tr}\left( M_m^\dagger M_m \rho \right)

ممکن است برایتان سوال شود که عملگر چگالی سیسستم پس از به دست آوردن نتیجه‌ی

m

چه خواهد بود؟ اگر حالت اولیه سیستم

|\psi_i\rangle

باشد، بنابراین حالت سسیستم پس از به دست آوردن نتیجه‌ی

m

خواهد بود:

|\psi_i^m\rangle = \frac{ M_m|\psi_i\rangle }{ \sqrt{ \langle\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rangle } }

بنابراین پس از یک اندازه‌گیری که نتیجه‌ی

m

را می‌دهد، یک آنسامبل از حالات

|\psi_i^m\rangle

با احتمالات متناظر با

p(i|m)

را خواهیم داشت. عملگر چگالی متناظر

\rho_m

نیز بدین صورت خواهد بود:

\rho_m = \sum_i p(i|m)|\psi_i^m\rangle\langle\psi_i^m| = \sum_i p(i|m) \frac{ M_m|\psi_i\rangle\langle\psi_i|M_m^\dagger }{ \langle\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rangle }

اما با توجه به تئوری بنیادی احتمال،

p(i|m) = \frac{p(m,i)}{p(m)} = \frac{p(m|i)p_i}{p(m)}

می‌باشد. با توجه به معادلات به دست آمده، می‌توان نوشت:

\rho_m = \sum_i p_i \frac{ M_m|\psi_i\rangle\langle\psi_i|M_m^\dagger }{ \operatorname{tr}(M_m^\dagger M_m\rho) }

= \frac{ M_m\rho M_m^\dagger }{ \operatorname{tr}(M_m^\dagger M_m\rho) }

در نهایت فرض کنید که یک سیستم کوانتومی در حالت

\rho_i

و با احتمال

p_i

آماده شده باشد؛ بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که این سیستم را ‌می‌توان با ماتریس چگالی

\sum_i p_i \rho_i

توصیف کرد. اثبات آن نیز این می‌تواند باشد که فرض کنید

\rho_i

از آنسامبل مفروضی از حالات خالص

\{p_{ij},|\psi_{ij}\rangle\}

گرفته شده باشد که در نتیجه احتمال برای این که در حالت

|\psi_{ij}\rangle

باشد

p_i p_{ij}

است. ماتریس چگالی برای این سیستم نیز بدین صورت است:

\rho = \sum_{ij} p_i p_{ij} |\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|

= \sum_i p_i \rho_i

که در اینجا از تعریف

\rho_i = \sum_j p_{ij} |\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|

استفاده شده است. می‌توان گفت که

\rho

یک مخلوطی از حالات

\rho_i

با احتمالات

p_i

m

از اندازه‌گیری گم شده است. یک سیستم کوانتومی در حالت

\rho_m

با احتمال

p(m)

خواهیم داشت اما دیگر مقدار واقعی

m

را نخواهیم دانست. حالت چنین سیستم کوانتومی در نتیجه با عملگر چگالی زیر توصیف خواهد شد:

\rho = \sum_m p(m)\rho_m

= \sum_m \operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m \rho\right) \frac{M_m \rho M_m^\dagger} {\operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m \rho\right)}

= \sum_m M_m \rho M_m^\dagger

۲. اصول کلیدی

یک عملگر

\rho

، عملگر چگالی متناظر با آنسامبل مفروض

\{p_i,|\psi_i\rangle\}

می‌باشد، اگر و تنها اگر شرایط زیر را اغنا کند:

شرط Trace: $\rho$ یک Trace برابر با 1 دارد

شرط مثبت بودن: $\rho$ یک عملگر مثبت می‌باشد.

\rho

با trace برابر با 1 می‌باشد که روی فضای حالت سیستم اثر می‌گذارد. اگر یک سیستم کوانتومی در حالت

\rho_i

باشد، عملگر چگالی برای این سیستم

\sum_i p_i \rho_i

خواهد بود.

اصل 2: تحول یک سیستم کوانتومی بسته با یک تبدیل یکانی توصیف می‌شود. یعنی حالت

\rho

سیستم در زمان

t_1

متناظر با حالت

\rho'

سیستم در زمان

t_2

تحت یک عملگر یکانی

U

که تنها وابسته به زمان‌های

t_1

t_2

است، انجام می‌شود:

\rho' = U\rho U^\dagger

اصل ۳: اندازه‌گیری‌های کوانتومی توسط دسته‌ای از عملگرهای اندازه‌گیری

\{M_m\}

توصیف می‌شوند. این عملگرها روی فضای حالت سیستم مورد اندازه‌گیری عمل می‌کنند. زیروند

m

مرتبط با خروجی اندازه‌گیری است که ممکن است در آزمایش رخ دهد. اگر حالت کوانتومی سیستم دقیقا پیش از اندازه‌گیری

\rho

باشد، احتمال اینکه تیجه

m

رخ دهد بدین صورت است:

p(m)=\operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m\rho\right)

و حالت سیستم پس از اندازه‌گیری بدین صورت است:

\frac{M_m\rho M_m^\dagger} {\operatorname{tr}\left(M_m^\dagger M_m\rho\right)}

عملگرهای اندازه‌گیری شرط کامل بودن را رعایت می‌کنند:

\sum_m M_m^\dagger M_m = I