۱. یادگیری عمیق‌تر
استفاده از عملگر چگالی یک ابزار مناسب برای توصیف سیستم‌های کوانتومی که حالت آن‌ها به طور کامل شناخته نیست را فراهم می‌کند. به طور دقیق‌تر، فرض کنید که یک سیستم کوانتومی در یکی از حالات با احتمال متناظر است؛ بنابراین بهتر است که را یک آنسامبل از حالات خالص (ensemble of pure states) دانست. لذا عملگر چگالی برای این سیستم بدین صورت تعریف می‌شود:
عملگر چگالی معمولا به عنوان ماتریس چگالی نیز شناخته می‌شود. البته جالب است بدانید که تمام اصول مکانکی کوانتومی را می‌توان با استفاده از زبان عملگر چگالی نیز فرمول‌بندی کرد. بنابراین اگر از زبان بردار حالت و یا عملگر چگالی استفاده شود، تفاوتی ایجاد نمی‌شود چرا که هر دو نتایج یکسان می‌دهند و تنها ممکن است به نظر بیاید که گاهی مسائل با استفاده از یکی از این دو رویکرد گویی آسان‌تر می‌باشند.
فرض کنید که تحول یک سیستم کوانتومی بسته با استفاده از یک عملگر یکانی U قابل توصیف است. اگر سیستم در ابتدا در حالت و با احتمال باشد، بنابراین پس ار رخداد تحول، سیستم در حالت و با احتمال خواهد بود. در نتیجه، تحول عملگر چگالی با این معادله توصیف می‌شود:
اندازه‌گیری‌ها را می‌توان به آسانی با زبان عملگر چگالی توصیف کرد. فرض کنید که یک اندازه‌گیری را انجام می‌دهیم که توسط عملگرهای اندازه‌گیری توصیف می‌شود. اگر حالت اولیه باشد، بنابراین احتمال دریافت نتبجه بدین ترتیب است:
با توجه به قانون کل احتمالات، احتمال به دست آوردن نتیجه‌ی بدین صورت است:
ممکن است برایتان سوال شود که عملگر چگالی سیسستم پس از به دست آوردن نتیجه‌ی چه خواهد بود؟ اگر حالت اولیه سیستم باشد، بنابراین حالت سسیستم پس از به دست آوردن نتیجه‌ی خواهد بود:
بنابراین پس از یک اندازه‌گیری که نتیجه‌ی را می‌دهد، یک آنسامبل از حالات با احتمالات متناظر با را خواهیم داشت. عملگر چگالی متناظرنیز بدین صورت خواهد بود:
اما با توجه به تئوری بنیادی احتمال، می‌باشد. با توجه به معادلات به دست آمده، می‌توان نوشت:
موضوعی که در اینجا نشان داده‌ایم این است که اصول پایه‌ای مکانیک کوانتومیِ مرتبط با تحولات یکانی و اندازه‌گیری را می‌توان با عملگرهای چگالی نیز فرمول‌بندی کرد.
در نهایت فرض کنید که یک سیستم کوانتومی در حالت و با احتمال آماده شده باشد؛ بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که این سیستم را می‌توان با ماتریس چگالی توصیف کرد. اثبات آن نیز این می‌تواند باشد که فرض کنید از آنسامبل مفروضی از حالات خالص گرفته شده باشد که در نتیجه احتمال برای این که در حالت باشد است. ماتریس چگالی برای این سیستم نیز بدین صورت است:
که در اینجا از تعریف استفاده شده است. می‌توان گفت که یک مخلوطی از حالات با احتمالات است. این مفهوم مخلوط بودن در آنالیز مسائلی نظیر نویز کوانتومی که اثر نویز ناآگاهی ما از حالت کوانتومی است، بسیار تکرار می‌شود. یک مثال ساده را با در نظر گرفتن سناریوی اندازه‌گیری با این ویژگی‌های تصور کنید: فرض کنید ثبت نتیجه‌ی از اندازه‌گیری گم شده است. یک سیستم کوانتومی در حالت با احتمال خواهیم داشت اما دیگر مقدار واقعی را نخواهیم دانست. حالت چنین سیستم کوانتومی در نتیجه با عملگر چگالی زیر توصیف خواهد شد:
۲. اصول کلیدی
عملگر چپالی به عنوان ابزاری برای توصیف آنسامبل‌هایی از حالات کوانتومی معرفی شده است. کلاسی از عملگرها که عملگرهای چگالی هستند را می‌توان بدین ترتیب معرفی کرد:
یک عملگر ، عملگر چگالی متناظر با آنسامبل مفروض می‌باشد، اگر و تنها اگر شرایط زیر را اغنا کند:
- شرط Trace: یک Trace برابر با 1 دارد
- شرط مثبت بودن: یک عملگر مثبت می‌باشد.
اصل 1: متناظر با هر سیستم فیزیکی بسته‌ای، یک فضای برداری مختلط با ضرب داخلی (یعنی همان فضای هیلبرت) به نام فضای حالت برای سیستم وجود دارد. این سیستم به صور کامل با عملگر چگالی خود توصیف می‌شضود که یک عملگر مثبت با trace برابر با 1 می‌باشد که روی فضای حالت سیستم اثر می‌گذارد. اگر یک سیستم کوانتومی در حالت باشد، عملگر چگالی برای این سیستم خواهد بود.
اصل 2: تحول یک سیستم کوانتومی بسته با یک تبدیل یکانی توصیف می‌شود. یعنی حالت سیستم در زمان متناظر با حالت سیستم در زمان تحت یک عملگر یکانی که تنها وابسته به زمان‌های و است، انجام می‌شود:
اصل ۳: اندازه‌گیری‌های کوانتومی توسط دسته‌ای از عملگرهای اندازه‌گیری توصیف می‌شوند. این عملگرها روی فضای حالت سیستم مورد اندازه‌گیری عمل می‌کنند. زیروند مرتبط با خروجی اندازه‌گیری است که ممکن است در آزمایش رخ دهد. اگر حالت کوانتومی سیستم دقیقا پیش از اندازه‌گیری باشد، احتمال اینکه تیجه رخ دهد بدین صورت است:
و حالت سیستم پس از اندازه‌گیری بدین صورت است:
عملگرهای اندازه‌گیری شرط کامل بودن را رعایت می‌کنند:
۳. منابع
Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2000). Quantum computation and quantum information (Vol. 1). Cambridge: Cambridge university press.