گیت‌های کوانتومی

1. یادگیری عمیق تر

برای دستکاری حالت یک کیوبیت، از گیت‌های کوانتومی استفاده می‌کنیم که به‌صورت ماتریس‌های یکانی قابل نمایش هستند. گیت‌های کوانتومی به‌صورت ماتریس واحدی با ابعاد  نمایش داده می‌شوند، که در آن  n تعداد کیوبیت‌هایی است که گیت بر آن‌ها عمل می‌کند. نمونه‌هایی از گیت‌های دوکیوبیتی متداول شامل گیت  CNOTو گیت  CZ می‌باشند. گیت‌های کوانتومی همراه با عملیات اولیه‌سازی و اندازه‌گیری می‌توانند در قالب یک مدار کوانتومی ترکیب شوند تا محاسبات کوانتومی را انجام دهند.

ما سه گروه از گیت‌های کوانتومی را فهرست می‌کنیم که مورد توجه ما هستند: گیت‌های پاولی، گیت‌های کلیفورد، و گیت‌های غیرکلیفورد:

1.      گیت‌های پاولی یک گروه پایه‌ای از گیت‌های تک‌کیوبیتی هستند که شامل گیت‌هایX  وZو Y می‌شوند.

2.      گروه کلیفورد یک گروه محدود است و به‌عنوان نرمالایزر/بهنجار گروه پاولی تعریف می‌شود. این بدین معناست که برای هر گیت کلیفورد C و گیت پاولی P، یک گیت پاولیP′ وجود دارد کهCP=P′C . نمونه‌هایی از گیت‌های کلیفورد شامل گیت‌های H (گیت هادامارد) و CNOT  می‌باشند.

3.      تمام گیت‌های کوانتومی مانند گیت‌های T و T† که در گروه کلیفورد و گروه پاولی قرار نمی‌گیرند، به‌عنوان گیت‌های غیرکلیفورد شناخته می‌شوند.

لازم به ذکر است که برای انجام محاسبات کوانتومی جهان‌شمول، استفاده از هر دو نوع گیت‌های کلیفورد و غیرکلیفورد ضروری ست.

گیت‌های مهم کوانتومی و توضیحات آن‌ها

گیت‌های پاولی (X, Y, Z)

گیت‌های پاولی، گیت‌های کوانتومی تک‌کیوبیتی هستند:

•         گیت پاولی (X gate):

نمایش ماتریسی:

·         گیت پاولی (Y gate):

نمایش ماتریسی:

·         گیت پاولی (Z gate):

نمایش ماتریسی:

گیت Hadamard (H gate):

گیت Hadamard وظیفه ایجاد برهم‌نهی از یک حالت پایه را بر عهده دارد؛ یعنی این گیت یک کیوبیت را از حالت |0> به یک برهم‌نهی برابر از |0> و |1> تبدیل می‌کند و به همین ترتیب، حالت |1> را نیز به برهم‌نهی مشابهی منتقل می‌سازد.

• نمایش ماتریسی:

به‌عنوان مثال، اگر گیت Hadamard بر حالت |0> اعمال شود:

این گیت در بسیاری از الگوریتم‌های کوانتومی نظیر ایچاد برهم‌نهی میان تمام ورودی‌های ممکن لازم باشد، حیاتی است.

گیت تغییر فاز (گیت‌های S وT)
گیت‌های تغییر فاز، فاز کیوبیت را بدون تغییر احتمالات مربوط به حالات را تغییر می‌دهند. متداول‌ترین نمونه‌های این گیت‌ها، گیت‌های S و T هستند که به آن‌ها در ادامه خواهیم پرداخت.

گیت S:
• یک تغییر فاز به اندازه π/2  را بر حالت ∣1⟩ اعمال می‌کند.
• نمایش ماتریسی:

گیت (Controlled-NOT Gate) CNOT

گیت CNOT یک گیت دو-کیوبیتی است که در آن یک کیوبیت به عنوان کنترل و کیوبیت دیگر به عنوان هدف عمل می‌کند. اگر کیوبیت کنترل در حالت  ∣1⟩ باشد، گیت CNOT کیوبیت هدف را معکوس می‌کند؛ به عبارت دیگر، اگر کیوبیت کنترل در حالت  ∣1⟩ باشد، گیت Xروی کیوبیت هدف اعمال می‌کند و اگر کیوبیت کنترل در حالت ∣0⟩ باشد، کیوبیت هدف بدون تغییر باقی می‌ماند.
• نمایش ماتریسی:

گیت CNOT برای ایجاد درهم‌تنیدگی بین کیوبیت‌ها بسیار حیاتی است و به همین دلیل، یکی از گیت‌های کلیدی در الگوریتم‌های کوانتومی می‌‍باشد.

به طور کلی، گیت‌های کوانتومی اساس عملیات کوانتومی و هسته اصلی الگوریتم‌های کوانتومی را تشکیل می‌دهند. و هر الگوریتم کوانتومی شامل مجموعه‌ای از گیت‌های کوانتومی که بر روی کیوبیت‌ها اعمال می‌شوند، می‌باشد.

2. اصول کلیدی
گیت‌های کوانتومی دارای چندین ویژگی مهم هستند که آن‌ها را از گیت‌های کلاسیک متمایز می‌کنند. این ویژگی‌ها برای عملکرد صحیح کامپیوترهای کوانتومی ضروری هستند و تضمین می‌کنند که این سیستم‌ها طبق اصول مکانیک کوانتومی عمل کنند. در ادامه، ویژگی‌های کلیدی گیت‌های کوانتومی و توضیحات مربوط به هر یک آورده شده است:

گیت‌های کوانتومی یکانی هستند

یکی از ویژگی‌های کلیدی هر گیت کوانتومی این است که باید یکانی (Unitary) باشند. این بدان معناست که نمایش ماتریسی یک گیت کوانتومی باید شرط زیر را برآورده کند:

که در آن:

• U† مزدوج مختلط (مزدوج مختلط ترانهاده) ماتریس U است.

• I  ماتریس همانی است.

• یکانی بودن گیت‌های کوانتومی تضمین می‌کند که عملیات کوانتومی برگشت‌پذیر هستند.

مثال:
برای گیت هادامارد H، داریم:

به راحتی می‌توان بررسی کرد که H†H = I  برقرار است که تأیید می‌کند گیت هادامارد، یکانی می‌باشد.

گیت‌ کوانتومی می‌توانند درهم‌تنیدگی ایجاد کنند

گیت‌ کوانتومی نظیر گیت CNOT قادر به ایجاد درهم‌تنیدگی بین کیوبیت‌ها هستند.

مثال:
گیت CNOT اغلب برای درهم‌تنیدگی دو کیوبیت استفاده می‌شود. اگر کیوبیت اول در حالت برهم‌نهی باشد و کیوبیت دوم در حالت |0> قرار داشته باشد، اعمال گیت CNOT منجر به ایجاد یک حالت درهم‌تنیده می‌شود:

گیت‌های کوانتومی برگشت‌پذیر هستند

گیت‌های کوانتومی به دلیل ماهیت یکانی (Unitary) خود بازگشت‌پذیر هستند. این ویژگی در تضاد با بسیاری از گیت‌های کلاسیک  (مانند AND، OR و NAND ) است که قابل بازگشت نیستند؛ چرا که خروجی این گیت‌ها نمی‌تواند به‌طور منحصربه‌فرد ورودی‌ها را تعیین کند. اما گیت‌های کوانتومی همیشه می‌توانند با اعمال معکوس خود به حالت اولیه بازگردند.

مثال:
برای گیت Pauli-X:

معکوس گیت X خود گیت X است؛ به این معنا که اگر گیت Pauli-X را دو بار بر کیوبیت اعمال کنید، کیوبیت به حالت اولیه خود بازمی‌گردد.

گیت‌های کوانتومی می‌توانند جهان‌شمول باشند

مجموعه‌ گیت‌های کوانتومی مشخصی جهان‌شمول هستند؛ به این معنا که می‌توان از آن‌ها برای ساخت هر مدار کوانتومی یا انجام هر محاسبه کوانتومی استفاده کرد. به عنوان مثال، گیت‌های هادامارد، CNOT و T با همدیگر مجموعه‌ای از گیت‌های جهان‌شمول را تشکیل می‌دهند. این مفهوم، مشابه گیت‌های منطقی کلاسیک مانند AND، OR و NOT است که می‌توان آن‌ها را برای انجام هر محاسبه کلاسیکی ترکیب کرد.

3. کاربرد

در این بخش به معرفی تعدادی از کاربردهای گیت‌های کوانتومی می‌پردازیم.

الگوریتم شور:

گیت‌های کوانتومی مانند گیت هادامارد، گیت‌های Controlled-U و گیت‌های تبدیل فوریه کوانتومی برای ایجاد برهم‌نهی و انجام محاسبات استفاده می‌شوند. این گیت‌ها به کامپیوترهای کوانتومی اجازه می‌دهند اعداد بزرگ را سریع‌تر از الگوریتم‌های کلاسیک فاکتورگیری کنند که این کارآمدی را می‌توان تهدیدی بالقوه برای سیستم‌های رمزنگاری کلاسیک مانند RSA در نظر گرفت.

الگوریتم گروور:

الگوریتم گروور از گیت‌های کوانتومی مانند گیت هادامارد و گیت Oracle برای جستجوی سریع‌تر یک پایگاه داده نامرتب نسبت به الگوریتم‌های کلاسیک، استفاده می‌کند.

توزیع کلید کوانتومی (رمزنگاری):

گیت‌های کوانتومی مانند گیت Pauli-X (معادل برگرداندن بیت) و گیت هادامارد در پروتکل‌هایی مانند BB84، که روشی برای توزیع کلید کوانتومی است، استفاده می‌شوند. این گیت‌ها برای ایجاد و اندازه‌گیری برهم‌نهی‌ها به منظور توزیع ایمن کلیدهای رمزنگاری به کار می‌روند.

تله‌پورت کوانتومی:

گیت‌های CNOT و هادامارد در پروتکل‌های تله‌پورت کوانتومی، که انتقال حالات کوانتومی بین کیوبیت‌ها در فواصل مختلف با استفاده از درهم‌تنیدگی را ممکن می‌سازند، استفاده می‌شوند. این گیت‌ها کیوبیت‌ها را درهم‌تنیده کرده و اندازه‌گیری حالت کوانتومی را امکان‌پذیر می‌کنند.

4. تاریخچه

پایه‌های مکانیک کوانتومی (دهه‌های 1920–1930)

مفهوم تحول یکانی (Unitary Evolution)  در مکانیک کوانتومی که توسط اروین شرودینگر و دیگران بنیان‌گذاری شد، اساس درک گیت‌های کوانتومی را ایجاد کرد؛ چرا که گیت‌های کوانتومی عملیات‌ یکانی هستند که حالات کوانتومی را دستکاری می‌کنند اما در عین حال احتمالات را حفظ می‌کنند.

نظریه اطلاعات کوانتومی (دهه 1980)

ریچارد فاینمن در سال 1981 پیشنهاد داد که سیستم‌های کوانتومی نمی‌توانند به‌صورت کارآمد توسط کامپیوترهای کلاسیک شبیه‌سازی شوند که این ایده به معرفی مفهوم کامپیوترهای کوانتومی و در ادامه، گیت‌های کوانتومی به‌عنوان ابزار عملیاتی کوانتومی منجر شد.

معرفی گیت‌های کوانتومی (1985)

دیوید دویچ در مقاله‌ای در سال 1985 مفهوم گیت‌های کوانتومی را به‌طور رسمی معرفی و اولین گیت کوانتومی را تعریف کرد.

توسعه گیت‌های خاص (دهه 1990)

گیت‌های کوانتومی نظیر گیت هادامارد و CNOT، در دهه 1990 توسعه یافتند که امکان ایجاد برهم‌نهی و درهم‌تنیدگی را در کامپیوترهای کوانتومی فراهم کردند.

الگوریتم‌های کوانتومی و گیت‌ها  (1994–1996)

الگوریتم شور (1994) و الگوریتم گروور (1996) از گیت‌های کوانتومی به منظور نمایش قدرت محاسبات کوانتومی استفاده کردند. این الگوریتم‌ها، افزایش سرعت نمایی و quadratic حاصل از اهمیت و به کارگیری گیت‌های کوانتومی را نشان دادند.

5. نمایش تصویری

شکل 1: در این شکل، به کارگیری گیت‌های Hadamard و CNOT در مدار کوانتومی با دو کیوبیت ورودی آماده شده در حالت |0> به منظور ایجاد یک حالت بل را مشاهده می‌نمایید.

 

6. منابع

Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum computation and quantum information. Cambridge university press.