روابط جابجاپذیری

1. یادگیری عمیق‌تر

Commutator میان دو عملگر

A

B

بدین صورت تعریف می‌شود:

[A,B]=AB-BA

اگر

[A,B]=0

باشد، یعنی

AB=BA

و در نتیجه می‌توان گفت که

A

با

B

commute می‌کند. به طور مشابه، anti-commutator این دو عملگر بدین شکل توصیف می‌شود:

\{A,B\}=AB+BA

گفته می‌شود که اگر

\{A,B\}=0

باشد،

A

با

B

anti-commute است. مشخص است که بسیاری از ویژگی‌های مهم جفت‌عملگرها را می‌توان از commutator و anti-commutator به دست آورد. احتمالاً پرکاربردترین رابطه، ارتباط میان commutator و ویژگی اینکه بتوان به طور همزمان عملگرهای هرمیتی

A

B

را قطری کرد، است.

تئوری قطری‌سازی همزمان

برای توضیح بیشتر، فرض کنید که

A

B

عملگرهای هرمیتی هستند. بنابراین

[A,B]=0

اگر و تنها اگر پایه‌ای متعامد بهنجار وجود داشته باشد که هر دوی

A

B

نسبت به آن قطری باشند. در این شرایط می‌گوییم که

A

B

هم‌زمان قابل قطری‌سازی هستند.

این نتیجه جابجاگر (کموتاتور) دو عملگر را، که اغلب محاسبه آن آسان است، به خاصیت قابلیت قطری شدن همزمان مرتبط می‌کند که از پیش تعیین آن نسبتاً دشوار است.

به عنوان مثال، در نظر بگیرید که

X

Y

جابجا نمی‌شوند.

اثبات

می‌توانید به راحتی تأیید کنید که اگر

A

B

در یک پایه متعامد یکسان قطری باشند، آنگاه

[A,B]=0

برای نشان دادن عکس این قضیه، اجازه دهید

|a,j\rangle

یک پایه متعامد برای فضای ویژه

V_a

از

A

با مقدار ویژه

a

باشد؛ اندیس

j

برای برچسب زدن احتمالات تبهگنی استفاده می‌شود. توجه کنید که

AB|a,j\rangle=BA|a,j\rangle=aB|a,j\rangle

و بنابراین

B|a,j\rangle

عضوی از فضای ویژه

V_a

است. اجازه دهید

P_a

نشان‌دهنده پروژکتور روی فضای

V_a

باشد و

B_a\equiv P_aBP_a

را تعریف کنید.

به راحتی می‌توان دید که محدودیت

B_a

به فضای

V_a

در

V_a

هرمیتی است و بنابراین یک تجزیه طیفی بر حسب مجموعه‌ای متعامد از بردارهای ویژه دارد که فضای

V_a

را پوشش می‌دهند. اجازه دهید این بردارهای ویژه را

|a,b,k\rangle

بنامیم، جایی که اندیس‌های

a

b

مقادیر ویژه

A

B_a

را نشان می‌دهند و

k

یک اندیس اضافی برای امکان وجود تبهگنی در

B_a

است.

توجه کنید که

B|a,b,k\rangle

عضوی از

V_a

است، بنابراین

B|a,b,k\rangle=P_aB|a,b,k\rangle

. علاوه بر این، داریم

P_a|a,b,k\rangle=|a,b,k\rangle

، بنابراین

B|a,b,k\rangle=P_aBP_a|a,b,k\rangle=b|a,b,k\rangle

نتیجه می‌گیریم که

|a,b,k\rangle

یک بردار ویژه از

B

با مقدار ویژه

b

است و بنابراین

|a,b,k\rangle

یک مجموعه متعامد از بردارهای ویژه هر دو

A

B

است که تمام فضای برداری که

A

B

روی آن تعریف شده‌اند را پوشش می‌دهد. یعنی

A

B

به طور همزمان قطری‌پذیر هستند.

2. نمایش ریاضیاتی

فرض کنید که معادله شرودینگر زیر را برای نوسان‌گر هماهنگ ساده داریم:

\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\right)\psi=E\psi

که در اینجا

p=-i\hbar\frac{d}{dx}

عملگر تکانه است. ایده پایه‌ای این است که هایلتونی را فاکتور بگیریم.

البته اگر این‌ها اعداد بودند، بسیار ساده می‌شد، اما اینجا مسئله به این سادگی نیست، زیرا

p

x

عملگر هستند و عملگرها عموماً جابجاپذیر نیستند؛ یعنی

xp

با

px

یکسان نیست، همان‌طور که به زودی خواهیم دید.

با این حال، این ما را برمی‌انگیزد که کمیت‌های

xp

px

را بررسی کنیم. البته این سؤال پیش می‌آید که

xp

px

واقعاً چه هستند؟

همان‌طور که پیش‌بینی شد، یک عبارت اضافی وجود دارد که شامل

(xp-px)

می‌شود. ما این عبارت را جابجاگر

x

p

می‌نامیم؛ این عبارت معیاری است برای نشان دادن اینکه این دو عملگر تا چه اندازه در جابجایی با یکدیگر ناموفق هستند.

به طور کلی، جابجاگر عملگرهای

A

B

که با کروشه نوشته می‌شود، به صورت

[A,B]\equiv AB-BA

تعریف می‌شود.

در این نمادگذاری باید جابجاگر

x

p

را محاسبه کنیم. هشدار: کار با عملگرها به صورت انتزاعی بسیار لغزنده است و شما حتماً مرتکب اشتباه خواهید شد مگر اینکه یک «تابع آزمون»

f(x)

برای عمل کردن آن‌ها در نظر بگیرید. در پایان می‌توانید تابع آزمون را کنار بگذارید و معادله‌ای شامل فقط عملگرها باقی خواهد ماند.

در این مورد داریم:

[x,p]f(x) = \left[ x\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right) - \left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)x \right]f(x)

در نتیجه

[x,p]f(x)=-i\hbar x\frac{df}{dx}+i\hbar\frac{d}{dx}(xf)

با استفاده از قاعده مشتق حاصل‌ضرب،

\frac{d}{dx}(xf)=f+x\frac{df}{dx}

و بنابراین

[x,p]f(x)=i\hbar f(x)

با کنار گذاشتن تابع آزمون که هدف خود را انجام داده است، داریم

[x,p]=i\hbar

این رابطه زیبا و همه‌جاگیر به عنوان رابطه جابجایی کانونی شناخته می‌شود.

در عمیق‌ترین معنا، تمام رازهای مکانیک کوانتومی را می‌توان به این واقعیت نسبت داد که مکان و تکانه جابجا نمی‌شوند. در واقع، برخی از نویسندگان رابطه جابجایی کانونی

[x,p]=i\hbar

را به عنوان یک اصل از نظریه می‌پذیرند و از آن برای استنتاج

p=-i\hbar\frac{d}{dx}

استفاده می‌کنند.

1. یادگیری عمیق‌تر

Commutator میان دو عملگر

A

B

بدین صورت تعریف می‌شود:

[A,B]=AB-BA

اگر

[A,B]=0

باشد، یعنی

AB=BA

و در نتیجه می‌توان گفت که

A

با

B

commute می‌کند. به طور مشابه، anti-commutator این دو عملگر بدین شکل توصیف می‌شود:

\{A,B\}=AB+BA

گفته می‌شود که اگر

\{A,B\}=0

باشد،

A

با

B

A

B

را قطری کرد، است.

تئوری قطری‌سازی همزمان

برای توضیح بیشتر، فرض کنید که

A

B

عملگرهای هرمیتی هستند. بنابراین

[A,B]=0

اگر و تنها اگر پایه‌ای متعامد بهنجار وجود داشته باشد که هر دوی

A

B

نسبت به آن قطری باشند. در این شرایط می‌گوییم که

A

B

هم‌زمان قابل قطری‌سازی هستند.

به عنوان مثال، در نظر بگیرید که

X

Y

جابجا نمی‌شوند.

اثبات

می‌توانید به راحتی تأیید کنید که اگر

A

B

در یک پایه متعامد یکسان قطری باشند، آنگاه

[A,B]=0

برای نشان دادن عکس این قضیه، اجازه دهید

|a,j\rangle

یک پایه متعامد برای فضای ویژه

V_a

از

A

با مقدار ویژه

a

باشد؛ اندیس

j

برای برچسب زدن احتمالات تبهگنی استفاده می‌شود. توجه کنید که

AB|a,j\rangle=BA|a,j\rangle=aB|a,j\rangle

و بنابراین

B|a,j\rangle

عضوی از فضای ویژه

V_a

است. اجازه دهید

P_a

نشان‌دهنده پروژکتور روی فضای

V_a

باشد و

B_a\equiv P_aBP_a

را تعریف کنید.

به راحتی می‌توان دید که محدودیت

B_a

به فضای

V_a

در

V_a

هرمیتی است و بنابراین یک تجزیه طیفی بر حسب مجموعه‌ای متعامد از بردارهای ویژه دارد که فضای

V_a

را پوشش می‌دهند. اجازه دهید این بردارهای ویژه را

|a,b,k\rangle

بنامیم، جایی که اندیس‌های

a

b

مقادیر ویژه

A

B_a

را نشان می‌دهند و

k

یک اندیس اضافی برای امکان وجود تبهگنی در

B_a

است.

توجه کنید که

B|a,b,k\rangle

عضوی از

V_a

است، بنابراین

B|a,b,k\rangle=P_aB|a,b,k\rangle

. علاوه بر این، داریم

P_a|a,b,k\rangle=|a,b,k\rangle

، بنابراین

B|a,b,k\rangle=P_aBP_a|a,b,k\rangle=b|a,b,k\rangle

نتیجه می‌گیریم که

|a,b,k\rangle

یک بردار ویژه از

B

با مقدار ویژه

b

است و بنابراین

|a,b,k\rangle

یک مجموعه متعامد از بردارهای ویژه هر دو

A

B

است که تمام فضای برداری که

A

B

روی آن تعریف شده‌اند را پوشش می‌دهد. یعنی

A

B

به طور همزمان قطری‌پذیر هستند.

2. نمایش ریاضیاتی

فرض کنید که معادله شرودینگر زیر را برای نوسان‌گر هماهنگ ساده داریم:

\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\right)\psi=E\psi

که در اینجا

p=-i\hbar\frac{d}{dx}

عملگر تکانه است. ایده پایه‌ای این است که هایلتونی را فاکتور بگیریم.

البته اگر این‌ها اعداد بودند، بسیار ساده می‌شد، اما اینجا مسئله به این سادگی نیست، زیرا

p

x

عملگر هستند و عملگرها عموماً جابجاپذیر نیستند؛ یعنی

xp

با

px

یکسان نیست، همان‌طور که به زودی خواهیم دید.

با این حال، این ما را برمی‌انگیزد که کمیت‌های

xp

px

را بررسی کنیم. البته این سؤال پیش می‌آید که

xp

px

واقعاً چه هستند؟

همان‌طور که پیش‌بینی شد، یک عبارت اضافی وجود دارد که شامل

(xp-px)

می‌شود. ما این عبارت را جابجاگر

x

p

به طور کلی، جابجاگر عملگرهای

A

B

که با کروشه نوشته می‌شود، به صورت

[A,B]\equiv AB-BA

تعریف می‌شود.

در این نمادگذاری باید جابجاگر

x

p

f(x)

در این مورد داریم:

[x,p]f(x) = \left[ x\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right) - \left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)x \right]f(x)

در نتیجه

[x,p]f(x)=-i\hbar x\frac{df}{dx}+i\hbar\frac{d}{dx}(xf)

با استفاده از قاعده مشتق حاصل‌ضرب،

\frac{d}{dx}(xf)=f+x\frac{df}{dx}

و بنابراین

[x,p]f(x)=i\hbar f(x)

با کنار گذاشتن تابع آزمون که هدف خود را انجام داده است، داریم

[x,p]=i\hbar

این رابطه زیبا و همه‌جاگیر به عنوان رابطه جابجایی کانونی شناخته می‌شود.

[x,p]=i\hbar

را به عنوان یک اصل از نظریه می‌پذیرند و از آن برای استنتاج

p=-i\hbar\frac{d}{dx}

استفاده می‌کنند.

روابط جابجاپذیری

Article headings

1. یادگیری عمیق‌تر

تئوری قطری‌سازی همزمان

اثبات

2. نمایش ریاضیاتی

Related concepts

Quantum Computing

Quantum Gates

Qubit

Loading...

روابط جابجاپذیری

Article headings

1. یادگیری عمیق‌تر

تئوری قطری‌سازی همزمان

اثبات

2. نمایش ریاضیاتی

Related concepts

Quantum Computing

Quantum Gates

Qubit