تصویر شرودینگر

1.     یادگیری عمیق تر

عملگر تحول زمانی را فرض کنید که در ویژه‌پایه‌های انرژی نمایش داده می‌شود:

فرض کنید حالت اولیه را داریم:

 

لذا پس از زمان t داریم

به همین شکل نیز داریم:

با استفاده از بقای احتمالات، می‌توان این را ثابت کرد. بنابراین می‌توان به دست آورد:

معادلات حرکت برای مطالعه حرکت سیستم‌های فیزیکی استفاده می‌شوند. از سویی دیگر، حالت یک سیتم فیزیکی توسط یک بردار حالت در فضای حالت تعریف می‌شود و معادله حرکت می‌تواند یک معادله از بردار حالت باشد. التبه بردار حالت یک مشاهده‌پذیر نیست اما مقدار چشم‌داشتی یک متغیر dynamical نظیر  <A>یک کمیت مشاهده‌پذیر است. بنابراین تغییرات <A> با زمان را می‌توان به عنوان یک معادله‌ی حرکت (با استناد بر اصل عدم قطعیت) دانست.

تغییرات زمانی <A> را از یکی از موقعیت‌های زیر ‌می‌توان به دست آورد:

1.      بردار حالت با زمان تغییر می‌کند اما عملگر در زمان ثابت می‌ماند: تصویر شرودینگر.

2.      عملگر با زمان تغییر می‌کند، در حالی که بردار حالت نسبت به زمان ثابت می‌ماند: تصویر هایزنبرگ.

3.      هم بردار حالت و هم عملگر با زمان تغییر می‌کنند: تصویر دیراک.

تصویر شرودینگر:

بردارهای حالت نظیر  -زیروند s ارجاع به شرودینگر دارد- وابسته به زمان هستند.

معادله وابسته به زمان شرودینگر:

که در اینجا هامیلتونی H مستقل از زمان می‌باشد.

جواب معادله‌ی بالا برای بردار حالت در زمان t بدین صورت است:

معادله‌ی بالا نشان می‌دهد که در زمان‌های t=0 تا t=t،  عملگر می‌باشد.

از آن‌جایی که H هرمیتی است و زمان t حقیقی می‌باشد، این عملگر یکانی است و بردار حالت بدون تغییر می‌ماند. مختلط مزدوج هرمیتی بردار کت – بردار برا – بدین صورت خواهد بود:

جواب معادله‌ی بالا برای بردار حالت برا در زمان t خواهد بود:

مشتق زمانی مقدار چشم‌داشتیِ عملگر  یعنی  بدین صورت است:

که در اینجا  عملگر متناظر با مشاهده‌پذیر A است.

با حل کردن و قرار دادن مقادیری از مشتق‌های بردارهای حالت:

یا

اگر عملگر  وابستگی به زمان نداشته باشد، خواهیم داشت:

اگر عملگر  با H جابه‌جاپذیر باشد، در نتیجه عملگر  نسبت به زمان ثابت می‌باشد: تصویر شرودینگر.

2. منابع

https://www.bbau.ac.in/dept/Physics/TM/Quantum%20Mechanics-I_PHM103_DoP_5_II.pdf