1. یادگیری عمیقتر
فرض کنید که انتهای یک طناب بسیار بلند را گرفتهاید و یک موج با تکان دادن آن به صورت ریتمیک به بالا و پایین ایجاد میکنید (نظیر شکل 1). اگر کسی از شما بپرسد که دقیقا این موج کجاست، شما احتمالا متعجب خواهید شد؛ موج به طور دقیق جایی نیست، بلکه در حدود 50 فیت پخش شدهاست. از سویی دیگر، اگر از شما بپرسد که طول موج آن چقدر است، شما میتوانید جواب منطقی به او بدهید: به نظر میآید که حدود 6 فیت باشد. حال اگر به طور ناگهانی در طناب موجی وارد کنید (نظیر شکل 2)، شما یک قله تقریبا باریک که در طناب حرکت میکند به دست خواهید آورد. این بار پرسش اول مبنی بر مکان دقیق موج به نظر منطقی و پرسش دوم درباره طول موج، عجیب به نظر میآیند – یعنی با توجه به عدم وجود تناوب، این سوال پیش میآید که چطور میتوان طول موجی به آن نسبت داد؟ مسلما شما میتوانید حالتی را در نظر بگیرید که مکان موج تقریبا به خوبی مشخص و طول موج آن نیز نسبتا به خوبی معین میباشد، اما یک تعارض در اینجا وجود دارد: هرچه مکان موج دقیقتر باشد، طول موج آن از دقت کمتری برخوردار است و بالعکس.
شکل 1: یک موج با طول موجی که تقریبا به خوبی تعریف شده اما مکان دقیق آن بد تعریف شده است.
شکل 2: یک موج با مکان به خوبی تعریف شده اما با طول موج بد تعریف شده.
این موضوع برای هر پدیده مربوط به موج و مخصوصا تابع موج مکانیک کوانتومی صدق میکند. اما طول موج در رابطه با تکانه ذره طبق فرمول de Broglie تعریف میشود:
Add a Tex equation
در نتیجه، پراکندگی در طول موج با پراکندگی در تکانه ارتباط مستقیم دارد. بر همین اساس، میتوان گفت که هرچه مکان یک ذره با دقت بیشتری مشخص شود، اندازهگیری تکانه آن با عدم قطعیت بیشتری همراه خواهد بود. این رابطه را میتوان به صورت کمی نیز نشان داد
Add a Tex equation
در اینجا انحراف معیار مکان و انحراف معیار تکانه است. این اصل، که به عنوان اصل عدم قطعیت هایزنبرگ شناخته میشود، به این معناست که: اندازهگیریهای مکان و تکانه، هرچند در لحظهای معین نتایج دقیقی ارائه میدهند، اما اگر این اندازهگیریها روی مجموعهای از سیستمهای مشابه و یکسان انجام شوند، نتایج به دلیل پراکندگی متفاوت خواهند بود.برای روشنتر کردن موضوع:
میتوان حالتی ایجاد کرد که اندازهگیریهای مکان به یکدیگر بسیار نزدیک باشند (با طراحی بهصورت یک قله موضعی). اما در چنین حالتی، اندازهگیریهای تکانه روی این سیستم بهشدت پراکنده خواهند بود.
بهطور مشابه، میتوان حالتی را فراهم کرد که تکانه با دقت بالایی مشخص باشد (با طراحی بهصورت یک موج سینوسی بلند). در این حالت، اندازهگیریهای مکان دچار پراکندگی زیادی خواهند شد.
در نهایت، اگر حالتی ایجاد شود که در آن نه مکان و نه تکانه به طور دقیق مشخص باشند، باید توجه داشت که اصل عدم قطعیت هایزنبرگ به صورت یک نابرابری بیان میشود. این اصل محدودیتی بر کوچک بودن همزمان واعمال میکند، اما مرزی برای بزرگ بودن این مقادیر وجود ندارد.
به عنوان مثال، فرض کنید که مشاهدهپذیر اول شما مکان باشد و دومین مشاهدهپذیر، تکانه
باشد. داریم:
Add a Tex equation
بنابراین،
Add a Tex equation
یا با توجه به ماهیت مثبت انحراف معیار،
Add a Tex equation
که این همان اصل عمومی عدم قطعیت هایزنبرگ میباشد.
در واقع، برای هر جفت از مشاهدهپذیرهایی که عملگرهای آنها با هم جابجا پذیر نباشند، یک اصل عدم قطعیت وجود دارد. اصل عدم قطعیت در نظریه کوانتوم یک فرض اضافه نیست، بلکه نتیجهای از تفسیر آماری است. ممکن است سوال کنید که چرا در آزمایشگاه نمیتوان همزمان مکان و تکانه یک ذره را اندازهگیری کرد.
شما میتوانید مکان یک ذره را دقیق اندازهگیری کنید، اما این اندازهگیری باعث تغییر در تابع موج ذره میشود و آن را به یک قله باریک تبدیل میکند که شامل یک گستره از طول موجها و به تبع آن تکانه خواهد بود. اگر تکانه را اندازهگیری کنید، حالت به یک موج سینوسی بلند تبدیل میشود که طول موج دقیقی خواهد داشت، اما مکان اولیه که در اندازهگیری اول به دست آمده بود دیگر مشخص نخواهد بود.
مشکل اینجاست که اندازهگیری دوم باعث از بین رفتن نتیجه اندازهگیری اول میشود. تنها در صورتی میتوان اندازهگیری دوم را انجام داد بدون اینکه تاثیر منفی بر حالت ذره بگذارد که تابع موج به طور همزمان ویژهحالت هر دو مشاهدهپذیر باشد. در این صورت، فروریزش دوم هیچ تغییری در حالت ایجاد نمیکند. این شرایط تنها زمانی برقرار است که دو مشاهدهپذیر با هم جابجا پذیر باشند.
2. نمایش ریاضیاتی
برای هر مشاهدهپذیر ، داریم:
Add a Tex equation
که همچنین برای هر مشاهدهپذیر دیگر ،
Add a Tex equation
بنابراین با استناد بر نامساوی شوارتز- Schwarz inequality،
Add a Tex equation
حال برای هر عدد مختلط z داریم:
Add a Tex equation
در نتیجه، با مساوی قرار دادن ،
Add a Tex equation
اما با توجه به هرمیتی بودن در خط اول:
Add a Tex equation
(توجه داشته باشید که و عدد هستند و نه عملگر؛ بنابراین میتوانید آنها را به هر ترتیبی بنویسید.) به همین نوبه،
Add a Tex equation
بنابراین،
Add a Tex equation
که در اینجا
Add a Tex equation
جابجاگر این دو تا عملگر میباشد. در نتیجه:
Add a Tex equation
این اصل عمومیتیافته عدم قطعیت میباشد.
به عنوان مثال، فرض کنید که اولین مشاهدهپذیر مکان باشد و دومین تکانه باشد.
Add a Tex equation
بنابراین
Add a Tex equation
یا با توجه به ماهیت مثبت انحراف از معیار، داریم:
Add a Tex equation
3. اصول کلیدی
بسته موج حداقل-قطعیت:
رایج ترین بسته موج حداقل-قطعیت چیست؟
نامساوی شوارتز Schwartz inequality وقتی یک تابع حاصلضرب دیگری است، تبدیل به یک تساوی میشود:
، برای عدد مختلط .
شرط کافی و ضروری برای حداقل عدم قطعیت بنابراین چنین است (حقیقی میباشد)،
Add a Tex equation
این معیار برای اصل عدم قطعیت مکان-تکانه چنین میشود:
Add a Tex equation
که یک معادله دیفرانسیلی برای به عنوان تابعی از میباشد. جواب عمومی آن بدین شکل است:
Add a Tex equation
از شواهد برمیآید که بسته موج حداقل-عدم قطعیت، گاوسی میباشد.
اصل عدم قطعیت انرژی-زمان:
اصل عدم قطعیت تکانه-مکان معمولا به این فرم نوشته میشود:
Add a Tex equation
این نوشتار (عدم قطعیت در ) معادل همان انحراف معایر نتایج آزمایشهای تکرار شده روی سیستمهای متشابه آماده شده میباشد. این معادله معمولا با اصل عدم قطعیت انرژی-زمان جفت میشود.
به عنوان معیاری از میزان سرعت تغییرات سیستم، حال مشتق زمانی مقدار چشمداشتی مشاهدهپذیر را محاسبه میکنیم:
Add a Tex equation
حال، معادله شرودینگر بیان میکند،
Add a Tex equation
که هامیلتونی را داریم. بنابراین:
Add a Tex equation
اما هرمیتی میباشد، بنابراین داریم ؛ در نتیجه،
Add a Tex equation
حال فرض کنید در اصل عدم قطعیت عمومیافته و و بستگی به ندارد:
Add a Tex equation
یا به طور سادهتر،
Add a Tex equation
با قرار دادن و
Add a Tex equation
بنابراین و این همان اصل عدم قطعیت زمان-انرژی میباشد. اما توجه کنید که منظور از چیست؛ از آنجایی که
Add a Tex equation
نمایانگر میزان زمانی میباشد که مقدار چشمداشتی نیاز دارد تا به میزان واحد انحراف معیار تغییر کند.
4. کاربرد
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ پایهای در بسیاری از زمینههای فیزیک کوانتومی و فناوریهای مرتبط است. در ادامه به برخی از کاربردهای کلیدی این اصل اشاره شده است:
اندازهگیری کوانتومی:
این اصل مستقیماً بر نحوه اندازهگیری سیستمهای کوانتومی تأثیر میگذارد. طبق این اصل، دستیابی به دقت کامل در برخی زوجهای کمیتهای قابل مشاهده (مانند مکان و تکانه) غیرممکن است. این محدودیتهای بنیادی در اندازهگیریهای مکانیک کوانتومی را مشخص میکند.
تونلزنی کوانتومی:
اصل عدم قطعیت پدیده تونلزنی کوانتومی را توضیح میدهد؛ جایی که ذرات از موانعی عبور میکنند که طبق قوانین کلاسیک نباید عبور کنند. عدم قطعیت در تکانه ذره، احتمال عبور از سدهای انرژی را امکانپذیر میکند.
پایداری اتمها:
این اصل توضیح میدهد که چرا الکترونها به داخل هسته اتم سقوط نمیکنند. عدم قطعیت در مکان و تکانه الکترون باعث میشود که الکترون در مدار خود باقی بماند و ساختار اتمی پایدار بماند.
رمزنگاری کوانتومی:
اصل عدم قطعیت در توزیع کلید کوانتومی (QKD)به کار گرفته میشود.
میکروسکوپ تونلزنی روبشی (STM):
STM ابزاری قدرتمند است که با بهرهگیری از تونلزنی کوانتومی (وابسته به اصل عدم قطعیت) امکان تصویرسازی از سطوح در مقیاس اتمی را از طریق اندازهگیری جریان تونلزنی بین نوک یک پروب و نمونه فراهم میکند.
خنکسازی و به دام انداختن با لیزر:
در خنکسازی با لیزر، اصل عدم قطعیت محدودیتی را بر سرد شدن اتمها اعمال میکند. کاهش پراکندگی تکانه (که موجب سردتر شدن اتمها میشود) باعث افزایش عدم قطعیت در مکان آنها میشود.
این کاربردها نشان میدهند که اصل عدم قطعیت هایزنبرگ چه نقش گستردهای در مکانیک کوانتومی ایفا میکند و چگونه بهعنوان ابزاری نظری و عملی در زمینههای مختلف مورد استفاده قرار میگیرد.
5. تاریخچه
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ توسط ورنر هایزنبرگ در سال 1927، در دوران اولیه شکلگیری مکانیک کوانتومی، مطرح شد. در آن زمان، فیزیکدانان در تلاش بودند تا نظریه کوانتومی در حال ظهور را با مکانیک کلاسیک تطبیق دهند. هایزنبرگ دریافت که در سطح کوانتومی، اندازهگیری دقیق مکان و تکانه یک ذره به طور همزمان به دلیل ویژگیهای ذاتی سیستمهای کوانتومی غیرممکن است.
بینش هایزنبرگ چالشی مستقیم برای دیدگاه کلاسیک بود که فرض میکرد ذرات میتوانند به طور همزمان دارای مکان و تکانهای کاملاً مشخص باشند. او توضیح داد که این عدم قطعیت صرفاً محدودیتی در فناوری اندازهگیری نیست، بلکه ویژگی بنیادی طبیعت است. اصل هایزنبرگ که در ابتدا بحثبرانگیز بود، بهزودی به یکی از اصول اساسی مکانیک کوانتومی تبدیل شد.
این اصل همچنین به مباحث گستردهتر درباره دوگانگی موج-ذره مرتبط بود که نشان میداد ذرات کوانتومی مانند الکترونها هم به صورت ذره و هم به صورت موج رفتار میکنند. عدم قطعیت به طور طبیعی از این واقعیت ناشی میشود که یک موج نمیتواند همزمان در مکان و تکانه کاملاً موضعی باشد.
نقاط عطف کلیدی در توسعه اصل:
- 1924–1926: همزمان با پیشرفت مکانیک کوانتومی، دانشمندانی مانند لویی دو بروی و اروین شرودینگر نشان دادند که ذراتی مانند الکترونها میتوانند توسط توابع موج توصیف شوند. این کار زمینه را برای درک عدم قطعیت فراهم کرد.
- 1927: هایزنبرگ اصل عدم قطعیت را در مقالهای انقلابی با عنوان ”Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik” (درباره محتوای تصویری سینماتیک و مکانیک نظریه کوانتومی)رسمی کرد. در این اثر، او این ایده را مطرح کرد که برخی جفت کمیتها، مانند مکان و تکانه، دارای عدم قطعیت ذاتی هستند که نمیتوان با بهبود ابزار اندازهگیری آن را کاهش داد.
- 1928–1930s: نیلز بور، که با هایزنبرگ همکاری نزدیک داشت، اصل عدم قطعیت را از طریق تفسیر کپنهاگی مکانیک کوانتومی گسترش داد و بر محدودیتهایی که این اصل بر درک ما از سیستمهای کوانتومی اعمال میکند تأکید کرد. کار هایزنبرگ همچنین بهعنوان تغییری فلسفی دیده شد که طبیعت احتمالی و غیرقطعی واقعیت فیزیکی را معرفی کرد؛ موضوعی که مورد بحث آلبرت انیشتین و دیگر فیزیکدانان قرار گرفت.
- 1935: انیشتین، به همراه پودولسکی و روزن (پارادوکس مشهور EPR)، اصل عدم قطعیت و کل مکانیک کوانتومی را زیر سؤال بردند و استدلال کردند که باید متغیرهای پنهانی وجود داشته باشند که پدیدههای به ظاهر تصادفی را بهطور قطعی توضیح دهند. این بحث برای دههها ادامه یافت.
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ همچنان یکی از مهمترین و تأثیرگذارترین ایدهها در مکانیک کوانتومی است و نقشی اساسی در شکلگیری درک ما از واقعیت در سطح بنیادی دارد و الهامبخش پژوهشهای نظری و تجربی در فیزیک کوانتومی بوده است.
6. منابع
Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2019). Introduction to quantum mechanics. Cambridge university press.