فضای هیلبرت

1.      یادگیری بیشتر:

در یک تعریف دقیق علمی، فضای هیلبرت یک فضای برداری مختلط کامل با ضرب داخلی است. این فضا دارای تمام ویژگی‌های یک فضای برداری معمولی است، با این تفاوت که اعداد مختلط را نیز شامل می‌شود. «کامل بودن» در اینجا به معنای آن است که تمام دنباله‌های کوشی در این فضا همگرا هستند و حد آن‌ها نیز در همین فضا قرار دارد.

2.      نمایش ریاضیاتی:

ضرب داخلی در این فضا، که با نماد  نمایش داده می‌شود، یک نگاشت از دو بردار به یک عدد مختلط است که خواص زیر را دارا است:

·         مزدوج تقارنی:

·         خطی بودن نسبت به بردار دوم:

·     مثبت معین بودن:  و  اگر و تنها اگر

اگر  نشان‌دهنده حالت فیزیکی سیستم و  بردار متناظر با خروجی  در اندازه‌گیری کمیت‌  باشد، احتمال بدست‌ آوردن این خروجی در آزمایش برابر است با:

همچنین میانگین کمیت  برابر است با:

که در آن  ماتریس متناظر با مشاهده پذیر  است (رجوع شود به واژه مشاهده‌پذیر در واژه‌نامه).

3.       تاریخ:

فضای هیلبرت نام خود را از ریاضیدان آلمانی، دیوید هیلبرت (۱۸۶۲-۱۹۴۳) گرفته است. او در سال ۱۹۱۲ در حین مطالعه معادلات انتگرالی، این مفهوم را معرفی کرد. اما تعریف امروزی و کاربرد آن در مکانیک کوانتومی، مدیون کار جان فون نویمان در دهه ۱۹۲۰ است. فون نویمان دریافت که فضای هیلبرت چارچوب ریاضی مناسبی برای فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی است و در کتاب تأثیرگذار خود "اصول ریاضی مکانیک کوانتومی" (۱۹۳۲) به طور جامع این موضوع را شرح داد.

4.      منابع

·         https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

·         https://mathworld.wolfram.com/HilbertSpace.html

·         https://www.quantiki.org/wiki/hilbert-spaces