تابع موج

1.      تعریف (عمیق تر)

فرض کنید که یک ذره با جرم m توانایی حرکت در راستای x را با وارد شدن نیروی مشخص  F(x,t) دارد. هدف مکانیک کلاسیک مشخص کردن مکان ذره در هر زمانی می باشد. زمانی که بتوانیم سرعت را به دست آوریم، متغیرهایی نظیر تکانه و انرژی جنبشی که مد نظر باشد را می توانیم به دست آوریم. برای دانستن مکان x(t) از قانون دوم نیوتن استفاده می کنیم  با استفاده از این قانون و داشتن شرایط اولیه مناسب (مثلا x, t = 0)، می توان x(t) را یافت.

شکل: یک ذره مشروط به حرکت در تنها یک جهت، تحت اعمال یک نیروی مشخص.

رویکرد مکانیک کوانتومی با این رویکرد مکانیک کلاسیک متفاوت می‌باشد؛ در مکانیک کوانتومی چیزی که به جای تابع مکان ذره به دنبال آن هستیم، تابع موج می باشد که با حل معادله شرودینگر به دست می‌آید:

ثابت پلانک در این معادله به این مقدار است:

معادله شروینگر نقشی نظیر قانون دوم نیوتن ایفا می‌کند: با داشتن شرایط اولیه مناسب مثل t=0، معادله شرودینگر می‌تواند تابع موج را برای تمامی زمان‌های آینده مشخص کند، دقیقا همان‌طور که قانون دوم نیوتن در مکانیک کلاسیک x(t) را مشخص می‌کند.

اما به راستی تابع موج چیست و با داشتن آن چه کاری می‌توان انجام داد؟ یک ذره در یک نقطه جایگزیده است. در حالی که تابع موج در فضا پخش شده است (چرا که تابعی  از x در هر زمان داده شده t است). چطور چنین تابعی می‌تواند نمایشگر حالت یک ذره باشد؟ جواب این سوال توسط Born’s statistical interpretation (تفسیر آماری بورن) داده می‌شود که می گوید مربع تابع موج، احتمال یافتن ذره در نقطه x در زمان t را می‌دهد؛ یا اگر دقیق‌تر بگوییم:

احتمال، مساحت زیر گراف  است. برای تابع موج در شکل پایین، احتمال یافتن ذره در نزدیکی x=A یعنی جایی که  بزرگتر است، بیشتر و با همین منطق در نزدیکی نقطه B، کمتر است.

شکل: یک تابع موج معمول. مساحت رنگی احتمال یافتن ذره میان نقاط a , b است. ذره بیشتر محتمل است که در نزدیکی نقطه A  باشد تا نزدیکی نقطه B.

اینچنین رویکرد آماری، نوعی عدم قطعیت را وارد مکانیک کوانتومی می‌کند؛ حتی زمانی که همه‌چیز را در تئوری درباره ذره بدانید (مانند تابع موج)، باز هم نمی‌توانید با قطعیت خروجی یک آزمایش ساده برای اندازه گیری مکان آن ذره را پیش‌بینی کنید. تنها چیزهایی که مکانیک کوانتومی می‌تواند ارائه دهد، اطلاعات آماری درباره نتایج محتمل است.

2.      ویژگی / اصول کلیدی:

1.      بهنجارش: تابع موج می‌بایست بهنجار باشد تا مطمئن باشیم که کل احتمال یافتن ذره در فضا برابر 1 است. از نظر ریاضیاتی داریم:

در سه بعد، شرط بهنجارش چنین می شود:

2.      تفسیر احتمالات

مربع اندازه تابع موج چگالی احتمال برای یافتن ذره در یک مکان و زمان مشخص را می دهد.

3.      خطی بودن:

تابع موج از اصل برهم‌نهی تبعیت می‌کند بدین معنی که اگر دو تابع موج  و  جواب‌های درست برای معادله شرودینگر باشند، هر ترکیب خطی از آنها نیز یک جواب درست است.

4.      پیوستگی:

تابع موج باید پیوستگی داشته باشد و با توجه به اینکه در معادله شرودینگر ظاهر می‌شود، باید مخصوصا در مرزها مشتق‌پذیر باشد.

5.      طبیعت مختلط:

تابع موج به طور کلی یک تابع با مقدار مختلط است ، به این معنی که بخش‌های حقیقی و موهومی دارد. همچنین، کمیت های فیزیکی مانند احتمال که برآمده از تابع موج هستند، حقیقی اند.

6.      فروپاشی تابع موج:

با اندازه گیری، تابع موج به یک ویژه حالت مشخص مرتبط به مشاهده‌پذیر اندازه‌گیری شده، فروپاشی می کند. پیش از اندازه‌گیری، سیستم در یک برهم نهی از حالات ممکن وجود دارد، اما پس از اندازه گیری تابع موج به یک حالت کاهش میابد.

7.      تحول از طریق معادله شرودینگر:

تابع موج در زمان از طریق معادله شرودینگر تحول می‌یابد. برای یک سیستم غیر نسبیتی، معادله شرودنیگر وابسته به زمان بدین صورت است:

در اینجا H عملگر هامیلتونی نشانگر کل انرژی سیستم است.

8.      شرایط مرزی:

در سیستم‌های فیزیکی، تابع موج میبایست از شرایط مرزی مناسبی تبعیت کند.

9.      تعامد:

برای یک دسته از توابع موج که مربوط به حالات کوانتومی متفاوت (مانند سطوح انرژی) هستند، این توابع موج غالبا نسبت به همدیگر متعامد هستند. این به این معنی است که انتگرال حاصل‌ضرب این دو تابع موج متفاوت برابر با صفر است:

3.      کاربرد/ مثال:

تابع موج نقش بسیار مهمی در جنبه‌های مختلف مکانیک کوانتومی دارد. کاربردها و استفاده‌های آن برای فهم، پیش‌بینی، و محاسبه رفتار سیستم‌های کوانتومی ضروری است. برخی کاربردهای اصلی آن شامل موارد زیر است:

1.      توصیف حالات کوانتومی
تابع موج اطلاعات کامل درباره حالت کوانتومی سیستم، مثل موقعیت، تکانه و انرژی را به ما میدهد.

2.      محاسبات احتمالات
قدر مطلق مربع تابع موج ∣ψ(x,t)∣**2|چگالی احتمال یافتن ذره در مکانی خاص را مشخص می‌کند.

3.      تونل‌زنی کوانتومی
تابع موج عبور از موانع انرژی را که در مکانیک کلاسیک غیرممکن است، توضیح می‌دهد.

4.      هم‌نهشتی و تداخل کوانتومی
تداخل سازنده و مخرب از طریق تابع موج تبیین می‌شود.

5.      کوانتش انرژی
حل معادله شرودینگر به انرژی‌های کوانتیزه شده و حالات ویژه می‌انجامد.

6.      پیش‌بینی نتایج اندازه‌گیری
تابع موج توزیع احتمالی نتایج اندازه‌گیری را تعیین می‌کند.

7.      محاسبات کوانتومی
تابع موج حالات کیوبیت‌ها را در کامپیوترهای کوانتومی توضیح می‌دهد.

8.      نظریه میدان کوانتومی
تابع موج به توصیف احتمالات پیکربندی‌های میدان گسترش می‌یابد.

9.      نوسانگر کوانتومی
 حل تابع موج نوسانگر کوانتومی سطوح انرژی کوانتیزه را ارائه می‌دهد.

4.      تاریخچه:

مفهوم تابع موج برای اولین بار در دهه ۱۹۲۰ و طی توسعه مکانیک کوانتومی معرفی شد. تابع موج بخشی از تلاش‌ها برای توصیف طبیعت دوگان موج-ذره ماده، به‌ویژه الکترون‌ها بود. تاریخچه این مفهوم با شخصیت‌های کلیدی و کشفیات مهم در فیزیک کوانتومی گره خورده است:

۱. لویی دوبروی و امواج ماده ۱۹۲۴

پیشینه تابع موج به فرضیه لویی دوبروی در سال ۱۹۲۴ برمی‌گردد، که ایده امواج ماده را مطرح کرد. او پیشنهاد کرد که ذراتی مانند الکترون می‌توانند خواص موجی داشته باشند، همان‌طور که نور (فوتون‌ها) ویژگی‌های موجی و ذره‌ای از خود نشان می‌دهند. دوبروی رابطه طول‌موج λ  و تکانه p  را از طریق معادله زیر معرفی کرد:

این اولین بیان رسمی ارتباط ویژگی‌های موجی یک ذره با تکانه‌اش بود و مبنایی برای مفهوم تابع موج فراهم کرد.

۲. اروین شرودینگر و معادله شرودینگر ۱۹۲۶

تابع موج در سال ۱۹۲۶ توسط اروین شرودینگر با توسعه معادله شرودینگر رسمی شد. کار شرودینگر مستقیماً از فرضیه دوبروی الهام گرفته بود و او معادله‌ای ریاضیاتی ارائه داد که نحوه تحول زمانی تابع موج را توصیف می‌کرد.

شرودینگر پیشنهاد کرد که حالت یک سیستم کوانتومی را می‌توان با تابع موجψ(x,t) توصیف کرد و معادله شرودینگر دینامیک آن را مشخص می‌کند:

که در آن ψ تابع موج، H^ عملگر هامیلتونی (نماینده کل انرژی سیستم)، و ℏ ثابت کاهش‌یافته پلانک است. حل‌های این معادله روشی برای محاسبه توزیع‌های احتمالی مقادیر فیزیکی مانند مکان و تکانه ارائه می‌دهد.

۳. تفسیر ماکس بورن ۱۹۲۶

به‌زودی پس از معرفی تابع موج توسط شرودینگر، ماکس بورن تفسیری مهم از معنای فیزیکی آن ارائه داد. در سال ۱۹۲۶، بورن پیشنهاد کرد که تابع موج ψ موجی فیزیکی در فضا نیست بلکه یک دامنه احتمال است. مربع مقدار مطلق تابع موج ∣ psi|^2چگالی احتمال یافتن ذره در مکان خاص در زمان معین را نشان می‌دهد.

این تفسیر احتمالاتی تابع موج تغییر بزرگی از فیزیک کلاسیک بود، جایی که اشیاء دارای مکان و تکانه‌های معین هستند. تفسیر بورن اکنون یکی از اصول اساسی مکانیک کوانتومی است.

۴. شرودینگر و تحول تفکر درباره تابع موج

درحالی‌که شرودینگر در ابتدا تابع موج را به‌عنوان نماینده یک موج فیزیکی تفسیر می‌کرد، دیدگاه‌های او با گذشت زمان تکامل یافت. پس از تفسیر احتمالاتی بورن، شرودینگر پذیرفت که تابع موج بیشتر ابزاری ریاضیاتی است تا یک موج فیزیکی مستقیم، اما او نسبت به پیامدهای تفسیر کپنهاگ، به‌ویژه ایده فروپاشی تابع موج، منتقد باقی ماند.

۵. تفسیر کپنهاگی ۱۹۲۷

توسعه تفسیر کپنهاگی مکانیک کوانتومی توسط نیلز بور و ورنر هایزنبرگ در اواخر دهه ۱۹۲۰ طبیعت احتمالاتی و غیر قطعی تابع موج را تقویت کرد. بر اساس این تفسیر، تابع موج اطلاعات کاملی درباره سیستم ارائه می‌دهد، اما اندازه‌گیری باعث فروپاشی تابع موج به یکی از حالات ممکن آن می‌شود.

5.منبع:

•     Griffiths, D. J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics

  Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (1965). The Feynman Lectures on Physics

   Shankar, R. (2011). Principles of Quantum Mechanics

    Peskin, M. E., & Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory

    Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., & Laloë, F. (1977). Quantum Mechanics

   Griffiths, D. J. (2018). *Introduction to Quantum Mechanics* (3^rd ed.). Pearson