.
1. یادگیری فراتر:
فرض کنید که انتهای یک طناب بسیار بلند را گرفتهاید و یک موج با تکان دادن آن به صورت ریتمیک به بالا و پایین ایجاد میکنید (نظیر شکل 1). اگر کسی از شما بپرسد که دقیقا این موج کجاست، شما احتمالا متعجب خواهید شد؛ موج به طور دقیق جایی نیست، بلکه در حدود 50 فیت پخش شدهاست. از سویی دیگر، اگر از شما بپرسد که طول موج آن چقدر است، شما میتوانید جواب منطقی به او بدهید: به نظر میآید که حدود 6 فیت باشد. حال اگر به طور ناگهانی در طناب موجی وارد کنید (نظیر شکل 2)، شما یک قله تقریبا باریک که در طناب حرکت میکند به دست خواهید آورد. این بار پرسش اول مبنی بر مکان دقیق موج به نظر منطقی و پرسش دوم درباره طول موج، عجیب به نظر میآیند – یعنی با توجه به عدم وجود تناوب، این سوال پیش میآید که چطور میتوان طول موجی به آن نسبت داد؟ مسلما شما میتوانید حالتی را در نظر بگیرید که مکان موج تقریبا به خوبی مشخص و طول موج آن نیز نسبتا به خوبی معین میباشد، اما یک تعارض در اینجا وجود دارد: هرچه مکان موج دقیقتر باشد، طول موج آن از دقت کمتری برخوردار است و بالعکس.
شکل 1: یک موج با طول موجی که تقریبا به خوبی تعریف شده اما مکان دقیق آن بد تعریف شده است.
شکل 2: یک موج با مکان به خوبی تعریف شده اما با طول موج بد تعریف شده.
در نتیجه، پراکندگی در طول موج با پراکندگی در تکانه ارتباط مستقیم دارد. بر همین اساس، میتوان گفت که هرچه مکان یک ذره با دقت بیشتری مشخص شود، اندازهگیری تکانه آن با عدم قطعیت بیشتری همراه خواهد بود. این رابطه را میتوان به صورت کمی نیز نشان داد
در اینجا
میتوان حالتی ایجاد کرد که اندازهگیریهای مکان به یکدیگر بسیار نزدیک باشند (با طراحی بهصورت یک قله موضعی). اما در چنین حالتی، اندازهگیریهای تکانه روی این سیستم بهشدت پراکنده خواهند بود.
بهطور مشابه، میتوان حالتی را فراهم کرد که تکانه با دقت بالایی مشخص باشد (با طراحی بهصورت یک موج سینوسی بلند). در این حالت، اندازهگیریهای مکان دچار پراکندگی زیادی خواهند شد.
در نهایت، اگر حالتی ایجاد شود که در آن نه مکان و نه تکانه به طور دقیق مشخص باشند، باید توجه داشت که اصل عدم قطعیت هایزنبرگ به صورت یک نابرابری بیان میشود. این اصل محدودیتی بر کوچک بودن همزمان و اعمال میکند، اما مرزی برای بزرگ بودن این مقادیر وجود ندارد.
به عنوان مثال، فرض کنید که مشاهدهپذیر اول شما مکان (
(
بنابراین،
یا با توجه به ماهیت مثبت انحراف معیار،
که این همان اصل عمومی عدم قطعیت هایزنبرگ میباشد.
در واقع، برای هر جفت از مشاهدهپذیرهایی که عملگرهای آنها با هم جابجا پذیر نباشند، یک اصل عدم قطعیت وجود دارد. اصل عدم قطعیت در نظریه کوانتوم یک فرض اضافه نیست، بلکه نتیجهای از تفسیر آماری است. ممکن است سوال کنید که چرا در آزمایشگاه نمیتوان همزمان مکان و تکانه یک ذره را اندازهگیری کرد.
شما میتوانید مکان یک ذره را دقیق اندازهگیری کنید، اما این اندازهگیری باعث تغییر در تابع موج ذره میشود و آن را به یک قله باریک تبدیل میکند که شامل یک گستره از طول موجها و به تبع آن تکانه خواهد بود. اگر تکانه را اندازهگیری کنید، حالت به یک موج سینوسی بلند تبدیل میشود که طول موج دقیقی خواهد داشت، اما مکان اولیه که در اندازهگیری اول به دست آمده بود دیگر مشخص نخواهد بود.مشکل اینجاست که اندازهگیری دوم باعث از بین رفتن نتیجه اندازهگیری اول میشود. تنها در صورتی میتوان اندازهگیری دوم را انجام داد بدون اینکه تاثیر منفی بر حالت ذره بگذارد که تابع موج به طور همزمان ویژهحالت هر دو مشاهدهپذیر باشد. در این صورت، فروریزش دوم هیچ تغییری در حالت ایجاد نمیکند. این شرایط تنها زمانی برقرار است که دو مشاهدهپذیر با هم جابجا پذیر باشند.
2. نمایش ریاضیاتی:
برای هر مشاهدهپذیر A، داریم:
که
بنابراین با استناد بر نامساوی شوارتز- Schwarz inequality،