ضرب تانسوری

1.     یادگیری عمیق تر 

ضرب تانسوری، روشی برای کنار هم قرار دادن فضاهای برداری به‌منظور ساختن فضاهای برداری بزرگ‌تر است. این ساختار برای درک مکانیک کوانتومی سیستم‌های چند ذره‌ای بسیار حیاتی است.

فرض کنید V و W فضاهای برداری با ابعاد به ترتیبm و n  هستند. برای سهولت، همچنین فرض می‌کنیم V و W فضاهای هیلبرت هستند. در این صورت V ⊗ W (بخوانید V تانسور W) یک فضای برداری mn بعدی است. عناصر V ⊗ W ترکیب‌های خطی حاصل از   است که  از عناصر V و   عناصر W هستند. به طور خاص، اگر   و  پایه‌های متعامد و هنجار برای فضاهای V و W باشند،  یک پایه برای فضای VW می‌باشد. معمولا به اختصار به جای  از ،  یا حتی  استفاده می‌شود. برای مثال، اگر V یک فضای برداری دو بعدی با بردارهای پایه |0> و |1> باشد،

در نتیجه  یک عنصر از VV خواهد بود.

با توجه به این تعاریف، ضرب تانسوری از این ویژگی‌ها پیروی می‌کند:

1.   برای یک اسکالر z و عناصر         از V و  از W،

2.    برای  و   در V و   در W،

 

 

3.    برای |v> در V و  و  در W،

 ممکن است بپرسید که چه عملگرهای خطی بر روی فضای V ⊗ W  عمل می‌کنند؟ فرض کنید   و  بردارهایی در V و W هستند، و A و B عملگرهای خطی بر فضاهای V و W هستند. بنابراین می‌توان یک عملگر خطی AB بر فضای VW با این معادله تعریف کرد:

  

تعریف AB بنابراین به تمام عناصر VW برای حفظ خطی بودن AB بدین صورت می‌باشند:

می‌توان نشان داد که  به گونه‌ای تعریف شده که یک عملگر خطی بر فضای V ⊗ W  باشد. این نمادگذاری ضرب تانسوری دو عملگر بدین صورت توسعه می‌یابد:   و   میان فضاهای برداری متفاوت، نگاشت انجام می‌دهد. در واقع یک عملگر خطی مفروض C که V ⊗ W را به  نگاشت می‌کند را می‌توان به صورت یک ترکیب خطی از ضرب‌های تانسوری عملگرهایی که V را به  و W را به  نگاشت می‌کنند.

که طبق این تعریف

ضرب‌های داخلی بر فضاهای V و W را می‌توان برای تعریف یک ضرب داخلی طبیعی بر V ⊗ W استفاده کرد.

به این تعریف توجه نمایید:

می‌توان نشان داد که تابع تعریف‌شده، یک حاصل‌ضرب تانسوری است. با توجه به این ضرب داخلی، فضای ضرب داخلی VW از ویژگی‌های شناخته شده نظیر نمادگذاری یکانی بودن، بهنجارش، هرمیتی بودن و Adjoint نیز پیروی می‌کنند.

 

2.     نمایش ریاضیاتی

برای درک بهتر این موضوعات به یک نمایش ماتریسی به نام حاصل کرونکر (Kronecker product) رجوع می‌کنیم؛ فرض کنید A یک ماتریس m در n و B یک ماتریس p در q باشد. در نتیجه این نمایش ماتریسی بدین شکل خواهد بود:

 

 

 

Nq

 

                                                                                                                                                                Mp.

برای مثال، حاصل ضرب تانسوری بردار (1, 2) و (2, 3) این بردار است:

 

حاصل ضرب تانسوری ماتریس‌های پائولی X و Y بدین صورت هستند:

نمادگذاری کاربردی  به این معنا که ،  بار در خود تانسور شده است. برای مثال،    است.

3.     اصول کلیدی

ضرب تانسوری از این ویژگی‌ها پیروی می‌کند:

1.   برای یک اسکالر z و عناصر         از V و  از W،

2.    برای  و   در V و   در W،

3.    برای |v> در V و  و  در W،

4.     کاربرد

ضرب تانسوری در زمینه‌های متعددی نظیر ریاضیات، فیزیک و یادگیری ماشین کاربرد دارد مه در اینجا به دو کاربرد آن در مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی اشاره می‌کنیم.

کاربرد در مکانیک کلاسیک:

ماتریس لختی اغلب به صورت تانسور لختی تعریف می‌شود که از حاصل لختی در سه محور تولید می‌شود؛ به عبارتی دیگر، تانسور لختی از 9 تانسور به این صورت ساخته می‌شود،

e_i⊗e_j,i,j=1,2,3.

در اینجا e_i,i=1,2,3 به سه بردار یکه متعامدی که چارچوب/مرجع لختی که در آن جسم حرکت می‌کند را مشخص می‌کند، دلالت دارد. با استفاده از این پایه‌ها، تانسور لختی به این صورت به دست می‌آید:

I=∑_(i=1)^3▒∑_(j=1)^3▒〖I_ij e_i⊗e_j 〗.

این تانسور حاوی دو درجه می‌باشد، چرا که هر عنصر تانسور از دو بردار پایه ساخته می‌شود.

برای یک سامانه جسم صلب با ذرات P_k,k=1,…,N هر کدام با جرم m_k و مختصات مکانی r_k=(x_k,y_k,z_k)، تانسور لختی به این شکل می‌باشد:

I=∑_(k=1)^N▒〖m_k ((r_k∙r_k )E-r_k⨂r_k ),   E=e_1⨂e_1+e_2⊗e_2+e_3⨂e_3 〗.

در این صورت، عناصر تانسور لختی به این شکل خواهند بود:

I_11=I_xx=∑_(k=1)^N▒〖m_k (y_k^2+z_k^2 ) 〗,I_22=I_yy=∑_(k=1)^N▒〖m_k (x_k^2+z_k^2 ) 〗,I_33=I_zz=∑_(k=1)^N▒〖m_k (x_k^2+y_k^2 ) 〗

I_12=I_21=I_xy=-∑_(k=1)^N▒〖m_k x_k y_k,〗  I_13=I_31=I_xz=-∑_(k=1)^N▒〖m_k x_k z_k,〗

I_23=I_32=I_yz=-∑_(k=1)^N▒〖m_k y_k z_k.〗

کاربرد در مکانیک کوانتومی:

اپراتور مکانیک کوانتومی مرتبط با مشاهده‌پذیر اسپین – ½ ، S ̂=ℏ/2 σ  است، در حالی‌که در کارتزین داریم:

S_x=ℏ/2 σ_x,S_y=ℏ/2 σ_y,S_z=ℏ/2 σ_z.

برای ذرات اسپین – ½، σ_x، σ_y و σ_z ماتریس‌های پائولی هستند:

σ_x (■(0&1@1&0)),σ_y (■(0&-i@i&0)),σ_z (■(1&0@0&-1)). 

 

می‌توان نمایش‌های کاهش‌ناپذیر مراتب بالاتر را با داشتن حاصل ضرب تانسوری ماتریسی نمایش S ̂ با خودش را داشته باشیم.

ماتریس‌های اسپین- 1و ویژه‌مقادیر متناظر آن‌ها در پایه‌های z  بدین صورت هستند:

S_x=ℏ/√2(■(0&1&0@1&0&1@0&1&0)),S_y=(ℏ/√2 ■(0&-i&0@i&0&-i@0&i&0)),S_z=ℏ/√2(■(1&0&0@0&0&0@0&0&-1)).

5.     تاریخچه

تانسور از واژه لاتین tendere  گرفته شده که به معنای «کشیدن» است. در سال ۱۸۲۲، کوشی Cauchy «تانسور تنش کوشی» را در مکانیک محیط‌های پیوسته معرفی کرد و در سال ۱۸۶۱، ریمان Riemann «تانسور انحنای ریمانی» را در هندسه پدید آورد. البته جالب است بدانید که این دو در آن زمان از این نام‌ها استفاده نکردند. در سال ۱۸۸۴، گیبس ضرب تانسوری بردارها در  را با عنوان «حاصل‌ضرب نامعین» معرفی کرد و از آن برای مطالعه تغییرشکل  در اثر کشش در یک جسم بهره گرفت. او در سال ۱۸۸۶ این حاصل‌ضرب نامعین را به n بعد تعمیم داد.

 Voigt در سال ۱۸۹۸ از تانسورها برای توصیف تنش و کرنش در بلورها استفاده کرد و واژهٔ «تانسور» با معنای فیزیکی امروزی‌اش نخستین بار در همان‌جا پدیدار شد. ریچی Ricci در اواخر دههٔ ۱۸۰۰ از تانسورها در هندسه بهره گرفت و مقالهٔ سال ۱۹۰۱ او  با لوی-چیویتا Levi-Civita نقش تعیین‌کننده‌ای در کار اینشتین دربارهٔ نسبیت عام داشت. از آن‌جایی که Ricci و Levi-Civita تانسورها را با عنوان «سیستم‌ها» می‌نامیدند، کاربرد گستردهٔ اصطلاح «تانسور» در فیزیک و ریاضیات مدیون اینشتین است. کتاب ویل Weyl در نظریهٔ گروه‌ها و مکانیک کوانتومی، ضرب تانسوری فضاهای برداری V و W را «فضای حاصل‌ضرب prduct space» نام نهاد و آن را با V×W نشان داد.  نماد ⊗  در سال ۱۹۳۶ توسط موری و فن‌نویمان برای ضرب تانسوری  فضاهای هیلبرت معرفی شد.  همچنین جالب است بدانید که ضرب تانسوری گروه‌های آبلی A و B، با همین نام اما به‌صورت  A∘B به‌جای    در سال ۱۹۳۸ توسط ویتنی Whitney  مطرح شد.

 

6.     منابع 

Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum computation and quantum information. Cambridge university press.

Conrad, K. (2018). Tensor products. Notes of course, available on-line.

https://www.dagonuniversity.edu.mm/wp-content/uploads/2019/08/KyawZaw-1.pdf