معادله شرودینگر

معادله شرودینگر یک معادله ریاضیاتی است که چگونگی تغییر حالت یک سیستم کوانتومی را در طول زمان توضیح می‌دهد. این معادله نشان می‌دهد که انرژی کل یک سیستم تعیین‌کننده‌ی رفتار و تحول زمانی آن است. به زبان ساده، معادله شرودینگر مانند یک "دستورالعمل" است که بیان می‌کند که با دانستن انرژی یک سیستم کوانتومی، می‌توانیم پیش‌بینی کنیم که حالت آن در آینده چگونه خواهد بود.

مبانی مکانیک کوانتومی

عنوان‌های این مطلب

1. یادگیری عمیق‌تر

فرض کنید که یک ذره با جرم

m

، تحت نیروی

F(x, t)

تنها در راستای

x

می‌تواند حرکت کند. هدف مکانیک کلاسیکی مشخص کردن مکان ذره در هر زمان داده شده

x(t)

می‌باشد. زمانی که این متغیر را متوجه شویم، می‌توانیم سرعت

(v = dx/dt)

، تکانه

(p=mv)

و انرژی جنبشی (

T = \frac{1}{2}mv^2

) و یا هر پارامتر جنبشی دلخواه را بیابیم. اما چطور

x(t)

را بیابیم؟ با اعمال قانون دوم نیوتن:

F=ma

. (برای هر سیستم پایسته – نیرو را می‌توان به صورت مشتق یک تالع انرژی پتانسیل نشان داد،

F = -\frac{\partial V}{\partial x}

، و قانون نیوتن بدین صورت

m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{\partial V}{\partial x}

). با اعمال این قانون توامان با شرایط اولیه مناسب (معمولا مکان و سرعت در

t=0

)، می‌توان

x(t)

را به دست آورد.

رویکرد مکانیک کوانتومی به این مسئله، متفاوت می‌باشد. در مکانیک کوانتومی چیزی که به دنبال آن هستیم، تابع موج

\psi(x,t)

است و با حل معادله شرودینگر آن را به دست می‌آوریم:

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V\Psi

در اینجا

i

ریشه دوم

-1

و ثابت پلانک می‌باشد:

\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.054573 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}

معادله شرودینگر نقشی معادل قانون دوم نیوتن را بازی می‌کند: با داشتن شرایط اولیه مناسب (معمولا

\psi(x,0)

)، معادله شرودینگر

\psi(x,t)

را برای تمام زمان‌های آینده همانند مکانیک کلاسیک که در آنجا قانون نیوتن

x(t)

را برای تمام زمان‌ها مشخص می‌کند، معین می‌سازد.

2. تاریخچه

معادله شرودینگر توسط اروین شرودینگر Erwin Schrodinger در سال 1926 به عنوان پایه مکانیک کوانتومی معرفی شد. فرمول‌بندی وی موجب یک تحول شاخص در شناخت پدیده‌های اتمی و زیراتمی، با تبدیل فیزیک از قطعیت کلاسیکی به احتمالات کوانتومی، شد.

در سال 1926، شرودینگر یک سری شامل 4 مقاله تحت عنوان Quantisierung als Eigenwertproblem" ("Quantization as an Eigenvalue Problem") در Annalen der Physik منتشر کرد. این مقاله‌ها شامل این مفاهیم بودند:

1. معادله شرودنیگر مستقل از زمان برای حالات ایستا

2. معادله شرودینگر وابسته به زمان برای تحولات پویا

3. یک چارچوب مبتنی بر موج برای مکانیک کوانتومی

3. منابع

McIntyre, D. H. (2014). Quantum mechanics: a paradigms approach.

Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2019). Introduction to quantum mechanics. Cambridge university press.

مفاهیم مرتبط

اصل عدم قطعیت هایزنبرگ

اصل عدم قطعیت هایزنبرگ بیان می‌کند که اندازه‌گیری دقیق همزمان مکان و تکانه یک ذره امکان‌پذیر نیست. هرچه یکی از این دو را با دقت بیشتری بدانیم، دقت دانسته ما درباره دیگری کمتر خواهد بود. اصل عدم قطعیت هایزنبرگ مفهومی بنیادی در مکانیک کوانتومی است و نشان‌دهنده محدودیت‌های اندازه‌گیری و دانش در مقیاس‌های بسیار کوچک است.

ادامه مطلب

فضای هیلبرت

یکی از تفاوت‌های اساسی میان مکانیک کلاسیک و کوانتومی در ماهیت کمیت‌های فیزیکی است. در مکانیک کوانتومی، کمیت‌ها گسسته هستند و نتایج اندازه‌گیری‌ها ماهیت تصادفی دارند. برای توصیف ریاضی این ویژگی‌های خاص، از فضای هیلبرت استفاده می‌شود. بردارهای این فضا که حالت‌های کوانتومی سیستم‌های فیزیکی را توصیف می‌کنند، به ما امکان می‌دهند احتمال مشاهده هر یک از مقادیر ممکن در اندازه‌گیری و همچنین مقدار میانگین کمیت‌های فیزیکی را محاسبه کنیم.

ادامه مطلب

مشاهده‌پذیر

مشاهده‌پذیر کوانتومی خاصیتی نظیر موقعیت، تکانه، انرژی یا اسپین از یک سیستم کوانتومی است که می‌توان آن را اندازه‌گیری کرد. به مشاهده پذیر به‌عنوان چیزی در دنیای کوانتومی فکر کنید که در پاسخ به یک "سؤالی که می‌توانیم درباره سیستم بپرسیم" مربوط می‌شود و پاسخ آن از طریق انجام یک اندازه‌گیری به دست می‌آید.

ادامه مطلب

در حال بارگذاری ...

1. یادگیری عمیق‌تر

فرض کنید که یک ذره با جرم

m

، تحت نیروی

F(x, t)

تنها در راستای

x

می‌تواند حرکت کند. هدف مکانیک کلاسیکی مشخص کردن مکان ذره در هر زمان داده شده

x(t)

می‌باشد. زمانی که این متغیر را متوجه شویم، می‌توانیم سرعت

(v = dx/dt)

، تکانه

(p=mv)

و انرژی جنبشی (

T = \frac{1}{2}mv^2

) و یا هر پارامتر جنبشی دلخواه را بیابیم. اما چطور

x(t)

را بیابیم؟ با اعمال قانون دوم نیوتن:

F=ma

. (برای هر سیستم پایسته – نیرو را می‌توان به صورت مشتق یک تالع انرژی پتانسیل نشان داد،

F = -\frac{\partial V}{\partial x}

، و قانون نیوتن بدین صورت

m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{\partial V}{\partial x}

). با اعمال این قانون توامان با شرایط اولیه مناسب (معمولا مکان و سرعت در

t=0

)، می‌توان

x(t)

را به دست آورد.

رویکرد مکانیک کوانتومی به این مسئله، متفاوت می‌باشد. در مکانیک کوانتومی چیزی که به دنبال آن هستیم، تابع موج

\psi(x,t)

است و با حل معادله شرودینگر آن را به دست می‌آوریم:

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V\Psi

در اینجا

i

ریشه دوم

-1

و ثابت پلانک می‌باشد:

\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.054573 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}

معادله شرودینگر نقشی معادل قانون دوم نیوتن را بازی می‌کند: با داشتن شرایط اولیه مناسب (معمولا

\psi(x,0)

)، معادله شرودینگر

\psi(x,t)

را برای تمام زمان‌های آینده همانند مکانیک کلاسیک که در آنجا قانون نیوتن

x(t)

را برای تمام زمان‌ها مشخص می‌کند، معین می‌سازد.

2. تاریخچه

1. معادله شرودنیگر مستقل از زمان برای حالات ایستا

2. معادله شرودینگر وابسته به زمان برای تحولات پویا

3. یک چارچوب مبتنی بر موج برای مکانیک کوانتومی

3. منابع

McIntyre, D. H. (2014). Quantum mechanics: a paradigms approach.

Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2019). Introduction to quantum mechanics. Cambridge university press.